Trasformazione di Fourier

Trasformazione di Fourier

Sia f:R C una funzione nella variabile reale t. Si dice integrale di Fourier della funzione f, la funzione F:R C, quando esiste, della variabile w, definita da

Questo integrale non esiste quasi mai. E' possibile ora definire una corrispondenza, detta trasformazione di Fourier, come

Esiste uno stretto legame fra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace. La relazione è

Come notazione si tenga conto che nella trasformazione si racchiudono in parentesi quadre le funzioni ed in parentesi graffe le distribuzioni.

Quasi tutte le trasformazioni di Fourier portano ad ottenere delle distribuzioni.

Esiste un collegamento fra la serie di Fourier e la trasformata di Fourier.

Sia f(t) continua nell'intervallo [-T/2; T/2]. La sua serie complessa di Fourier sarà , ove e .

Per T ¥ si ha che w è una variabile continua, quindi si può scrivere che è la trasformata di Fourier. In altre parole, per un periodo infinito, il prodotto periodo con coefficiente di Fourier corrisponde alla trasformata di Fourier, la frequenza ad una variazione infinitesima di frequenza e la sommatoria ad un integrale.

Da qui si ha che, sia F:R C una funzione nella variabile reale w. Si dice integrale inverso di Fourier o antitrasformata di Fourier della funzione F, la funzione f:R C, quando esiste, della variabile t definita da

Sono proprietà notevoli di trasformazione ed antitrasformazione di Fourier

Teorema di simmetria

Sia f:R C una funzione dotata di trasformata di Fourier F:R C a sua volta dotata di antitrasformata uguale ad f quasi dappertutto. Allora vale la proprietà di simmetria:

DIM:

Data , facendo la sostituzione

t w w t, si ha

da cui la tesi

Trasformazione della porta. Gli estremi di integrazione sono gli estremi della porta. Si tratta poi di integrare l'esponenziale e quindi si ottiene un risultato per w che è T e un risultato per w¹ che è , da cui si ha che

Si ricavano tre limiti interessanti: il limite per w della trasformata di Fourier della porta è T; il limite per T della porta è 1; lo stesso limite per la trasformata è kd

Si applica ora il teorema della simmetria alla porta: la si trasforma, si applica il teoremae con semplici passaggi e sostituzioni si ottiene la funzione , che trasformata secondo Fourier rappresenta una porta di ampiezza 2W nella variabile w in quanto W= T/2. L'integrale della funzione è quindi 1 sui reali e si ha che La trasformazione di Fourier è un operatore continuo. Considerando il limite nell'ambito delle funzioni, la trasformata di Fourier del limite della funzione in W travata è il limite della trasformata, cioè il limite della porta cioè la costante 1(w). Segue, per definizione di trasformata, che la trasformata di Fourier della delta di Dirac è la costante 1, e per il teorema di simmetria, la trasformata di Fourier di 1 è 2pd

Ogni funzione f sommabile, ovvero appartenente ad L , cioè l'integrale del modulo è finito, ammette una trasformata di Fourier F. Tale trasformata è una funzione continua e limitata in w

DIM.:

Dalla definizione di trasformata di Fourier si ha

, per cui

Quindi il modulo della trasformata è finito per ogni w. La continuità deriva dalla continuità dell'esponenziale.

Si possono individuare delle interessanti proprietà della trasformata di Fourier e della sua antitrasformata

Le suddette relazioni si calcolano scomponendo la funzione e l'esponenziale in parte reale ed immaginaria e trasformando o antitrasformando secondo necessità.

Dall'operazione precedente si possono introdurre due nuovi concetti:

1) Costrasformata:

2) Sintrasformata:

Proprietà delle trasformate di Fourier di funzioni

1) Linearità:

2) cambiamento di scala:

La dimostrazione è analoga a quella vista per le distribuzioni.

3) Traslazione nel tempo:

Anche in questo caso la dimostrazione è analoga a quelle delle distribuzioni.

In termini analitici la moltiplicazione di una funzione per un esponenziale immaginario si dice modulazione, quindi la traslazione nel tempo non è altro che una modulazione in frequenza.

4) Modulazione nel tempo:

Come dimostrazione è sufficiente eseguire i calcoli simbolici.

La modulazione nel tempo di f corrisponde ad una traslazione in frequenza di F.

5) Derivazione:

Sia fIL e derivabile con derivata f'IL

DIM.:

ma per le ipotesi di sommabilità il primo termine dell'ultimo membro dell'uguaglianza è un differenza di termini nulli, e quindi è nullo.

Per la dimostrazione si eseguono semplicemente i calcoli ricordando che -jt è la derivata dell'esponenziale.

Se tf(t)IL allora la trasformata di Fourier in questione è una funzione.

Entrambe le derivate possono essere considerate n volte: allora i fattori (jw e (-jt) avranno un esponente n.

Tanto più f(t) è derivabile a derivate sommabili, tanto più velocemente decresce F(w

DIM.:

, ovvero è possibile dire

Tanto più una trasformata di Fourier è derivabile, tanto più velocemente decresce la f(t) e viceversa.

DIM.:

, per ipotesi di sommabilità

Funzioni a decrescita rapida

Sia f:R C, si dice che f è a decrescita rapida se per , la norma di f decresce più velocemente di ogni potenza negativa della norma di t, cioè se nII C>0 /

Sono funzioni a decrescita rapida le gaussiane e tutte le funzioni asupporto limitato.

Dalle definizioni date in precedenza si evince che la trasformata di Fourier di una funzione indefinitamente derivabile, con derivata sommabile, è a decrescita rapida. la trasformata di Fourier di una funzione a decrescita rapida è indefinitamente derivabile.

Si dice S_t lo spazio delle funzioni indefinitamente derivabili e a decrescita rapida. Si tratta di un caso particolare dello spazio di Sobolev.

La trasformazione di Fourier trasforma S_t in S_w

F è una corrispondenza biunivoca da S_t in S_w e per di più bicontinua.

Esiste una relazione fra il supporto di f e il supporto di F: il prodotto delle misure dei supporti non può scendere sotto ad una costante, principio che richiama quello noto di indeterminatezza dovuto ad Heisenberg.

Trasformazione di un prodotto di convoluzione

Siano f e g due funzioni dotate di trasformata di Fourier F(w) e G(w che sono funzioni. Inoltre siano f e g tali che esista il prodotto di convoluzione f*g, allora si ha che

DIM.:

Dalla definizione di prodotto di convoluzione si ha

applicando ora la definizione di trasformazione secondo Fourier si ha

Si faccia il seguente cambio di variabile: t' = t - t, dt = dt'

Per dimostrare la seconda asserzione si utilizza il teorema di simmetria

si applichi poi il teorema di simmetria alle due funzioni convolute e si ottiene la tesi.

Formula di Parseval-cherel

Siano f(t) e g(t):R C due funzioni le cui trasformate di Fourier, a loro volta funzioni, siano F(w e G(w , allora

DIM.:

Trasformata di Fourier di distribuzioni

Dalla definizione di funzionale associato si ricava

, e sostituendo la definizione di trasformazione di Fourier alla distribuzione si ha

siccome è agevole riconoscere la trasformata di Fourier di j(t)

Si nota agevolmente che F[f][j]=f[F j

Per utilizzare l'equazione precedente come definizione di trasformata di Fourier di distribuzioni è necessario cambiare sia le funzioni di prova, sia le funzioni descritte tramite funzionale, perchè l'esistenza degli integrali non è garantita. la classe delle funzioni di prova deve essere univariante sotto trasformazione di Fourier: lo spazio delle funzioni s indefinitamente derivabili e a decrescita rapida soddisfa questo requisisto.

Si dicono funzioni a crescita lenta le funzioni tali che M>0, nII T>0 / |t|>T Þ |f(t)|<=M|t|ⁿ.

Non sono a crescita lenta gli esponenziali.

Si dice spazio delle distribuzioni a crescita lenta lo spazio dei funzionali lineari e contnui su S. Questi funzionali sono anche limiti di successioni di integrali di serie che appartengono allo spazio delle funzioni a crescita lenta. Lo spazio delle funzioni a crescita lenta si indica con s. Si ha subito che le funzioni sono localmente sommabili e contengono D. Le distribuziuoni a crescita lenta sono un sottospazio di D'. Si indica con S' lo spazio delle distribuzioni a crescita lenta. Tutte le operazioni su D' valgono anche su S'. In particolare, se si deriva una distribuzione a crescita lenta si ottiene una distribuzione a crescita lenta.

Sia SIS', la sua trasformata di Fourier è definita, sIS, da F s S F s

La trasformata di Fourier di una distribuzione esiste se e solo se la distribuzione è a crescita lenta. In quel caso l'operatore trasformata di Fourier è una relazione biunivoca e bicontinua.

Teorema

Condizione sufficiente e necessaria affinchè f(t) sia periodica di periodo T è che la sua trasformata di Fourier F(w abbia la forma , ove b_n sono a crescita lenta.

DIM.:

Necessità)

Antitrasformando F(w secondo Fourier si ottiene

Si aggiunga ora T e si verifichi che f(t) è periodica, e si verifica che la traslazione è di

Sufficienza)

Se b_n è a crescita lenta n, allora f(t) è la più generale forma di distribuzione periodica di periodo . Trasformando secondo Fourier si ottiene la tesi e si noti che in [-T/2; +T/2] vale lo sviluppo in serie di Fourier che è , in cui

, e allora b_n a_n p

Teorema del campionamento (1948)

Sia f(t) una funzione reale tale che esista la sua trasformata di Fourier F(w come funzione a supporto limitato. Allora, detta w_m la frequenza massimale continua nello spettro di f(t), la funzione f(t) è ricostruibile a partire dai suoi campioni f(nT), in cui T è l'intervallo di campionamento, se e solo se , in cui 1/T è detta frequenza di campionamento e .

DIM.:

Tramite i campioni f(nT) si ricostruisce la distribuzione .

Si trasforma secondo Fourier e F w) = F(w)*S_w0 w

Poichè F(w è una funzione a supporto limitato e poichè supp(F(w w_m w_m], essendo f(t) reale ne segue che F w) ne è la riproduzione periodica con periodo w F(w

Nel caso di si può moltiplicare F w) per la versione indefinitamente derivabile della porta, in modo che vengano eliminate le ripetizioni all'interno dell'intervallo [-w w / 2] e pertanto f(t) si ottiene mediante antitrasformazione: . Negli altri casi non si può ottenere F(w a partire da F w) e dunque non è possibile ricostruire f(t).

La condizione equivale a quella chiesta dal teorema.