MICROECONOMIA

EQUILIBRIO ECONOMICO PARZIALE - DERIVATE

Questa dispensa presenta alcuni esercizi relativi alle seguenti tematiche:

a) Equilibrio Economico Parziale

In quanto segue analizziamo il modello di equilibrio del mercato di un bene tramite il Metodo della Statica Comparata. Tale metodo consiste nel confronto di diverse posizioni di equilibrio, fermo restando determinate condizioni di mercato (quali i gusti dei consumatori o il loro reddito, le condizione di produzione), senza occuparci del 'sentiero' percorso nel passaggio da un equilibrio all'altro.

1. Funzione di Domanda e di Funzione di Offerta

Per descrivere l'equilibrio di mercato di un bene, consideriamo, ad esempio, la funzione di domanda diretta lineare Q^d = 270 - 3P; la funzione inversa di domanda è negativamente inclinata, ura 1 - a), ed è data da P^d = 90 - (1/3)Q:

Consideriamo ora la funzione di offerta diretta lineare Q^s = P - 50; la Funzione di Offerta Inversa è positivamente inclinata, ura 1 - b), ed è data da P^s = 50 + Q.

Definiamo l'equilibrio di mercato come l'uguaglianza tra la domanda e l'offerta e per determinare il prezzo e la quantità di equilibrio risolviamo il seguente sistema a due equazioni e due incognite:

(1)

ponendo Q^d = Q^s, da cui 270 - 3P = P - 50 e quindi P* = 320/4 = 80 e, sostituendo P* nella domanda o nella offerta, otteniamo Q* = 30 - ura 2.

2. Elasticità della Domanda rispetto al Prezzo ed Elasticità dell'Offerta

rispetto al Prezzo

Definiamo l'elasticità della domanda rispetto al prezzo come la variazione percentuale della quantità domandata rispetto alla variazione percentuale del prezzo. Possiamo così considerare l'elasticità come un indice di reattività. L'elasticità puntuale di domanda rispetto al prezzo, in termini infinitesimali ed in valore assoluto - osserviamo infatti che la funzione di domanda inversa lineare è rappresentata nel piano sectiunesiano in ura 1 - a) da una retta negativamente inclinata - è data da:

|e^d| = | (2)

Se consideriamo la funzione di domanda diretta precedente Q^d = 270 - 3P e calcoliamo l'elasticità e^d, in valore assoluto, nel punto di equilibrio in ura 2, otteniamo: |e^d| = |

L'elasticità puntuale della offerta rispetto al prezzo - visto che la funzione di offerta inversa lineare è rappresentata da una retta positivamente inclinata nel piano in ura 1 - b) - è data da:

e^s = (3)

Calcoliamo ora l'elasticità e^s per la funzione di offerta diretta Q^s = P - 50 nel punto di equilibrio in ura 2 ed otteniamo: e^s = 1(80/30) = 8/3.

Esercizio:

Data la funzione di domanda diretta Q^d = 30 - 2P, determiniamo il prezzo e la quantità in modo che l'elasticità puntuale della domanda rispetto al prezzo sia in valore assoluto pari a 1.

Soluzione:

L'elasticità puntuale della domanda rispetto al prezzo è così |e^d|= |- 2(P/Q^d) |= 1. Da qui otteniamo P/Q^d = 1/2 e, sostituendo a Q^d l'espressione della funzione di domanda diretta, otteniamo: [P/(30 - 2P)] = 1/2 da cui P = 15 - P, P = 7.5 e Q = 15.

3. Surplus Consumatore e Surplus del Produttore

Esercizio:

Date le funzioni di domanda diretta Q^d = 260 - 5P e la funzione di offerta diretta Q^s = P - 40 determiniamo l'equilibrio del mercato, il surplus del consumatore ed il surplus del produttore.

Soluzione:

Per determinare l'equilibrio del mercato risolviamo il seguente sistema:

(4)

da cui 260 - 5P = P - 40 e P* = 50 e Q* = 10 - ura 3.

Il Surplus del Consumatore, che definiamo come la differenza tra l'ammontare che i consumatori sono disposti a are per ottenere una certa quantità del bene di consumo e quello che effettivamente ano quando l'acquistano, è dato dall'area del triangolo BAE: 10(52 - 50)/2 = 10, con P^ = 52 il prezzo che otteniamo dalla funzione di domanda inversa P = 52 - (1/5)Q ponendo Q^ = 0. Definiamo i Surplus dei Produttori come la somma dei profitti lordi che le imprese realizzano. Il Surplus del Produttore, nell'esercizio, è dato dall'area del triangolo CAE: 10(50 - 40)/2 = 50, con il prezzo P^^ = 50 che otteniamo dalla funzione di offerta inversa P = Q + 40, ponendo Q^^ = 0.

4. Pavimenti e Tetti di Prezzo

I Tetti ed i Pavimenti di Prezzo possono essere considerati come forme di intervento con cui, ad esempio, ovviare alle tensioni inflazionistiche e deflazionistiche mediante il congelamento dei prezzi oppure l'imposizione di prezzi minimi. Vogliamo studiare in quanto segue gli effetti di tale politiche.

Esercizio sul Tetto di Prezzo:

Consideriamo la Funzione di Domanda Diretta Q^d = 400 - 2P e la Funzione di Offerta Diretta Q^s = 2P - 100. Vogliamo determinare l'equilibrio; supponiamo inoltre che lo Stato decida di intervenire fissando un prezzo P' del 10% inferiore rispetto al prezzo di equilibrio. Vogliamo studiare gli effetti dell'imposizione di tale Tetto di Prezzo.

Soluzione:

Per determinare l'equilibrio di mercato - ura 4 - risolviamo il sistema:

(5)

ponendo Q^d = Q^s ed otteniamo 400 - 2P = 2P - 100, da cui P* = 500/4 = 125. Sostituendo il prezzo P* nella domanda o nella offerta, si ottiene Q* = 150.

Supponiamo ora che lo Stato imponga un prezzo P' del 10% inferiore rispetto al prezzo di equlibrio P* = 125. Avremo P' = 125 - (0.1)125 = 112.5. Otteniamo la quantità che i venditori sono disposti ad offrire al prezzo P' = 112.5 dalla funzione di offerta Q^s' = 2(112.5) - 100 = 125. In base alla cosidetta regola del 'lato corto', l'equilibrio dopo l'imposizione del Tetto di Prezzo è dato da P' = 112.5 e Q' = 125. Si osservi che si crea un eccesso di domanda. Infatti in corrispondenza di P', la quantità domandata è data da Q^d' = 400 - 2(112.5) = 175 e l'eccesso di domanda è dato da ED = Q^d' - Q^s' = 175 - 125 = 50. Osserviamo infine che in Italia un tipico esempio di Tetto di Prezzo è l'equo canone.

Esercizio sul Pavimento di Prezzo:

Data la Funzione di Domanda Diretta Q^d = 280 - 4P e la Funzione di Offerta Diretta Q^s = 100 + 2P, vogliamo determinare l'equilibrio e studiare gli effetti della imposizione di Pavimento di Prezzo con un prezzo P' del 20% superiore a quello di equilibrio.

Soluzione:

Determiniamo l'equilibrio - ura 5 - risolvendo il sistema:

(6)

Poniamo Q^d=Q^s e quindi 280 - 4P = 100 + 2P, da cui P* = 180/6 = 30 e Q* = 160.

Supponiamo ora che lo Stato intervenga imponendo un prezzo P' del 20% superiore a quello d'equilibrio, ovvero P' = 30 + (0.2)30 = 36 e la quantità domandata in corrsipondenza di P' è data da Q^d' = 280 - 4(36) = 136. L'equilibrio dopo l'introduzione del Pavimento di Prezzo è, in base alla cosidetta regola del 'lato corto', dato da P' = 36 e Q^d' = 136. Inoltre la quantità offerta è, in corrispondenza di P', data da Q^s' = 100 + 2(36) = 172; troviamo così un eccesso di offerta dato da EO = 172 - 136 = 36. Osserviamo infine che lo Stato si può proporre come 'acquirente di ultima istanza' dell' eccesso di offerta.

5. Quote

Supponiamo che lo Stato consideri il prezzo praticato in un settore, ad esempio quello agricolo, troppo basso e decida così di intervenire fissando un prezzo più elevato mediante l'introduzione di una quota.

Esercizio:

Siano Q^d = 120 - 3P la Funzione di Domanda Diretta e Q^s = 40 + P la Funzione d Offerta Diretta; determiniamo l'equilibrio e supponiamo che lo Stato introduca una quota pari al 10% della quantità di equilibrio.

Soluzione:

Per determinare l'equilibrio risolviamo il seguente sistema:

(7)

tramite Q^d = Q^s e quindi 120 - 3P = 40 + P. Da qui otteniamo P* = 80/4 = 20 e Q* = 60. Introduciamo ora la quota: avremo la quantità Q' = 60 - (0.1)60 = 54 e quindi P' = 22. La funzione di offerta, dopo l'introduzione della quota, è quella in grassetto.

6. Imposte Fisse ed Imposte Proporzionali

Consideriamo ora l'introduzine di imposte fisse ed imposte proporzionali.

Esercizio sulle Imposte Fisse:

Data la Funzione di Domanda Diretta Q^d = 50 - P e la Funzione di Offerta Diretta Q^s = P - 30, vogliamo determinare l'equilibrio e studiare gli effetti della introduzione di una imposta fissa sugli acquisti T = 1.

Soluzione:

Per determinare l'equilibrio risolviamo il seguente sistema:

(8)

Posto Q^d = Q^s, ovvero 50 - P = P - 30, otteniamo P* = 80/2 = 40 e Q* = 10.

Introduciamo ora una imposta fissa sugli acquisti T = 1; la funzione di domanda inversa P^d = 50 - Q, dopo l'introduzione dell'imposta fissa, può essere riscritta come P^d = 50 - Q - 1 da cui P^d = 49 - Q. Consideriamo la Funzione di Offerta Inversa P^s = Q + 30; l'equilibrio è dato da 49 - Q = Q + 30 da cui Q' = 19/2 = 9.5 ed il Prezzo Lordo è P^d' = 40.5, mentre il Prezzo Netto è dato da P^s' = 39.5 - ura 7. Il gettito fiscale è dato da GF = TQ' = 1(9.5) = 9.5. Inoltre la parte di imposta che grava sui consumatori è data da P^d' - P* = 40.5 - 40 = 0.5 ed in termini percentuali da 0.5/1 = 1/2. Similmente per il produttore P* - P^s' = 40 - 39.5 = 0.5 ed in termini percentuali 0.5/1 = 1/2. Quindi il 50% dell'imposta grava sui consumatori, mentre il restante 50% sui produttori.

Esercizio sulle Imposte Proporzionali:

Consideriamo la Funzione di Domanda Diretta Q^d = 275 - P e la Funzione di Offerta Diretta Q^s = P - 40. Vogliamo determinare l'equilibrioe studiare gli effetti della introduzione di una imposta proporzionale sulle vendite con aliquota t = 0.25.

Soluzione:

Determiniamo l'equilibrio risolvendo il seguente sistema:

(9)

da cui 275 - P = P - 40 e P* = 315/2 = 157.5 con Q* = 117.5.

Dopo l'introduzione delle imposta proporzionale sulle vendite, la funzione di offerta inversa P^s = Q + 40 diventa P^s' = (Q + 40)(1 + 0.25) da cui 1.25Q + 50. Troviamo l'equilibrio tramite 1.25Q + 50 = 275 - Q, dove P^d = 275 - Q rappresenta la Funzione di Domanda Inversa. Dalla precedente uguaglianza otteniamo Q' = 100, il Prezzo Lordo P^d' = 1.25(100) + 50 = 175 ed il Prezzo Netto P^s' = 100 + 40 = 140.

b) Derivate

1. Funzioni ad una variabile: Definizione di Derivata e Tabella delle Derivate

Data una funzione y = f(x) ad una variabile (anche detta funzione univariata), con y variabile dipendente ed x variabile indipendente, ci proponiamo, in quanto segue, di studiare il tasso medio di variazione di f(x) in corrispondenza di variazioni della variabile indipendente x.

Sia f(x) una generica funzione, definita in un intervallo [a,b], ed x_o ne sia punto interno; supponiamo che la variabile indipendente vari da x₀, punto iniziale, ad x e che la funzione f(x) vari, corrispondentemente, da f(x₀) ad f(x). Se indichiamo con Dx º x - x₀ la variazione della variabile indipendente e con Dy º f(x) - f(x₀) la variazione della funzione, il rapporto:

Dy/Dx = (10)

che possiamo anche scrivere, dato che si ottiene dalla Dx º x - x₀ l'espressione x = x₀ + Dx, come:

Dy/Dx =     (11)

è detto rapporto incrementale della funzione f(x) in un intorno del punto interno x₀.

Il rapporto (10) (oppure (11)) fornisce il tasso medio di variazione della funzione f(x) e può essere calcolato se conosciamo il valore iniziale di x, che abbiamo indicato con x₀, e la grandezza della variazione in x, che abbiamo indicato con Dx (il rapporto incrementale Dy/Dx è così una funzione di x₀ e Dx).

Il limite l , se esiste, del rapporto incrementale Dy/Dx, definito nella espressione (10), per x x₀ (oppure, analogamente il limite l, se esiste, di Dy/Dx, definito nella espressione (11), per Dx

lim _{x x0} = lim _Dx = l con l reale finito (12)

rappresenta la derivata prima di f(x) nel punto x₀ e si dice che la funzione f(x) è derivabile in x₀.

Notazione

Indichiamo la derivata prima di f(x) in x₀, con: f'(x₀), (la notazione è dovuta a Lagrange), con (dy/dx)_{x = x0} , (la notazione è dovuta a Leibnitz) oppure con Df(x₀).

Dato che la derivata è il limite del rapporto incrementale ed il rapporto incrementale misura un tasso di variazione di y, la derivata a sua volta deve essere la misura di un tasso di variazione. Inoltre poichè la variazione in x è infinitesimale, il tasso misurato dalla derivata è per sua natura un tasso istantaneo di variazione.

Interpretazione geometrica

La derivata f'(x₀) è la pendenza della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto di coordinate (x₀ , f(x₀)) (ura 9):

Se vale Dy f'(x₀)Dx, la derivata che è il fattore di proporzionalità può essere assunta come indicatore della sensibilità a variazioni dell'argomento attorno a x₀.

Alcune osservazioni

E' importante osservare che il limite del rapporto incrementale (11) può essere uguale a + ¥ o a - ¥, dove il simbolo ¥ indica l'infinito. In questo caso la funzione si dice dotata di derivata nel punto x₀. Utilizzeremo sempre la notazione precedente.

Diremo che la funzione f(x) è derivabile nell'intervallo [a,b], se essa è derivabile in tutti i punti interni di [a,b]. In questo caso si ha una funzione x f'(x) che viene detta funzione derivata prima e che indichiamo nel modo seguente (la derivata prima non è solo nel punto interno x₀ ma anche in tutti i punti interni dell'intervallo [a,b]): f'(x), Df(x), oppure (dy/dx).

E' possibile considerare le derivate successive, ammesso che esse esistano, alla derivata prima. La derivata f'(x) è essa stessa una funzione di x definita nell'intervallo [a,b]; se f'(x) è derivabile nell'intervallo [a,b], chiameremo la derivata di f'(x) derivata seconda. E così via per la derivata terza fino alla ennesima.

Tabella A - Alcune derivate fondamentali per funzioni ad una variabile

La seguente tabella riporta in modo sintetico ed intuitivo alcune derivate fondamentali.

Applicando la definizione di derivata, si possono ottenere le seguenti derivate (con la notazione D(x) indicheremo la derivata della funzione f(x) rispetto all'argomento x; y = f(x) è la funzione cosidetta primitiva, x la variabile indipendente od argomento della funzione, y la variabile dipendente):

ESEMPI TABELLA A:

Tabella B - Regole di derivazione

Ipotizzando che f(x) e g(x) siano funzioni della stessa variabile indeterminata x, che siano definite in uno stesso intervallo e che siano derivabili in un punto x_o di questo, si dimostra quanto segue:

1) D[cf(x)] = c f'(x) con c costante;

la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale alla costante per la derivata della funzione.

2) D[f(x) g(x)]= f'(x) g'(x);

la derivata della somma o della differenza di due funzioni è uguale alla somma od alla differenza delle derivate delle due funzioni. Tale regola si estende anche al caso di piu' di due funzioni.

3) D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x);

la derivata del prodotto di due funzioni e' uguale alla somma del prodotto tra la derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata ed il prodotto della prima funzione non derivata per la derivata della seconda funzione. Tale regola si estende anche al caso di piu' di due funzioni.

4) D[f(x)/g(x)] = con g(x) ¹

la derivata del rapporto tra due funzioni e' uguale alla differenza tra il prodotto del numeratore derivato per il denominatore non derivato e il prodotto tra il numeratore non derivato per il denominatore derivato, tutto fratto il denominatore non derivato al quadrato.

5) Se la funzione f(x) e' derivabile in un punto x_o con f'(x) ¹ 0 e se e' invertibile in un intorno di x_o, la funzione inversa f^-l(x) e' pure derivabile e la sua derivata e':

6) Se f(x) e' dotata di derivata ¥ in un punto x_o, se e' continua in x_o e crescente o decrescente in tutto un intorno di tale punto, la derivata di f^-l(x) e' nulla in x_o.

7) Se f(x) e' continua in x_o con derivata nulla e' crescente o decrescente in tutto un intorno x_o, la funzione f^-l(x) e' dotata di derivata rispettivamente + ¥ o - ¥ nel punto x_o.

8)Se f(x) e g(x) sono funzioni della stessa indeterminata x, definite in uno stesso intervallo e derivabili in un punto x_o di questo, la funzione composta F = gf e' essa pure derivabile e la sua derivata e':

Se y = f(z), ove z = g(x) da cui y = f[g(x)], possiamo riscrivere la precedente derivata come segue:

dy/dx = (df/dz)(dz/dx)

Esempi:

2. Funzioni a due variabili: Esempi con Funzioni di Utilità

Ricordando che, data una generica funzione di utilità U = U(x₁, x₂), l'utilità marginale rispetto al bene 1 è data da U₁(x₁, x₂) º U(x₁, x₂)/ x₁ e che l'utilità marginale rispetto al bene 2 è U₂(x₁, x₂) º U(x₁, x₂)/ x₂, avremo:

c) Riferimenti Bibliografici

Prof.ssa Chirco Alessandra - Microeconomia: Metodi e Strumenti - 2001 - pgg. 1 - 71 Esculapio:

Si vedano:

1.2 Relazioni e modelli economici

1.2.1 La rappresentazione delle relazioni economiche

1.2.2 Modelli Economici, variabili endogene e variabili esogene

1.2.3 La statica ata

1.3 Modelli comportamentali e modelli di equilibrio

1.3.1 I modelli comportamentali

1.3.2 I modelli di equilibrio

1.4 Interazione tra gli agenti e forme di mercato

1.4.1 La concorrenza perfetta

1.4.2 Lo schema di trattzaione dei mercati concorrenziali

Frank - Microeconomia - Mc Graw Hill - 2001

Dott.ssa Carbonara Emanuela - Mercati, strategie e istituzioni - Esercizi di Microeconomia - Ed. Il Mulino Manuali pgg.:1 - 8.