Formule di Economia Politica I - SCELTA DEL CONSUMATORE

Formule di Economia Politica I.

Parte 1:

SCELTA DEL CONSUMATORE:

equazione del vincolo di bilancio: px*x+py*y=m; da cui y=m/py-px/py*x.

intercetta sull'asse delle ordinate(y): m/py.

intercetta sull'asse delle ascisse(x): m/px.

Inclinazione del vincolo di bilancio: |px/py|.

Saggio marginale di sostituzione(SMS): ^y/^x = §u/x/§u/y.

Tassa sulla quantità: px+t;

Tassa sul valore: px+t%.

Sussidio: px-s.

Inclinazione del vincolo di bilancio nel caso di consumi superiori: |px+t/py|.

Funzione di utilità lineare: f(x,y)=U=x+y; beni perfetti sostituti(3 casi, soluzioni angolose: 1)px/py>SMS; 2)px/py<SMS; 3)px/py=SMS).

Funzione di utilità strettamente convessa: f(x,y)=U=x*y(SMS è decrescente; dette anche normali o i una loro forma Cobb -douglas);

Funzioni di utilità Cobb Douglas: f(x,y)=U=x^°*y^°(dove per ° si intendono a e b , due parametri positivi): x*=a/a+b*m/px; y*=b/a+b+m/py.

Funzione di utilità di beni perfetti complementi: f(x,y)=U=min(x,y); (il SMS è o infinito oppure 0);

Funzioni di utilità quasi lineari: f(x,y)=U=log (x+y);

Ottimo di beni strettamente convessi, E: sistema: a)SMS=px/py; b)y=m/py-px/py*x;

Ottimo , E di beni perfetti sostituti : 3 casi già accennati sopra(ottimi di confine o frontiera);

Curva reddito consumo(CRC)= congiunzione delle variazioni di E a E' a E'' dovute ad una variazione del potere di acquisto o reddito m(anche detta curva di Engel; se le preferenze sono omotetiche essa è una retta che parte dall'origine degli assi sectiunesiani);

Curva prezzo consumo(CPC)= congiunzione delle variazioni di E a E' a E'' dovute ad una variazione di prezzo= sistema : a) §U/x/§U/y=px/py; b)m=px*x+py*y;(tenendo sempre in a e in b come incognita px se si ha il prezzo py e viceversa py se si ha il prezzo di px; nel primo caso si risolve in y, nel secondo in x.

Effetto sostituzione ed effetto reddito nel caso di scelta del consumatore: determinazione del punto Z = con il sistema: a) SMS=px'/py; b)pxz+pyz=px'+py; oppure: a)^y/^x=px'/py; b)pxz+pyz=px'+py; oppure: a)§U/x/§U/y=px'/py; b)pxz+pyz=px'+py.

Effetto sostituzione: determinati con i sistemi E ed E': =Z-E.

Effetto reddito: determinati con i sistemi E ed E': =E'-Z.

DOMANDA:

Funzione generica di domanda: x'*(p',p'',m); x''*(p',p'',m).

Funzione di domanda di beni perfetti sostituti: vi sono tre casi: 1) p''>p': l'inclinazione del vinc. Di bilancio è < di quella della curva di indifferenza; 2) p''<p' : l'inclinazione del vincolo di bilancio è > di quella della curva di indifferenza; 3) p''=p': l'inclinazione del vincolo di bilancio è = a quella della curva di indifferenza.

Funzione di domanda se acquisto la stessa quantità di x' e di x''=x'=x''=x=m/p'+p''(è il caso dei beni perfetti complementi).

Curva di Engel di beni perfetti complementi: inclinazione = p'+p''.

Preferenze Cobb Douglas: curva di Engel con inclinazione = p'/a.

Funzione di domanda di un bene sapendo il prezzo dell'altro bene: con il sistema(se voglio la funz. Di dom. del bene x e so il prezzo py):= a) SMS=px/py; b)m=px*x+py*y;(tenendo sia in a che in b come incognita px e px*x, rispettivamente, e risolvendo in x;

Effetto reddito ed effetto sostituzione nel caso di beni perfetti complementi: la variazione complessiva è uguale al solo effetto reddito= E'-Z;

Effetto sostituzione ed effetto reddito nel caso di beni perfetti sostituti: la variazione complessiva è dovuta al solo effetto sostituzione=Z-E.

Elasticità della domanda rispetto al prezzo: ep=dx/dpx+px/x(con dx/dpx che non è altro che il parametro davanti alla x nella funzione di domanda).

Elasticità della domanda rispetto al reddito: er=dx/dr*r/x.

Elasticità della domanda incrociata: eincr=dx/dpy*py/x.

Quantità domandata= x(basta sostituire i valori che il testo ci dà e che sono px,py,m).

Quantità di reddito spesa per l'acquisto di x= sx=px*x/r.

Effetto sostituzione inerente ad una variazione della quantità domandata: ^s=(px'+m'/x**)-(px'+r/^tot).

Effetto reddito inerente ad una variazione della quantità domandata: ^r=(px'+r/x**)-(px'+m'/x**).

Calcolo del nuovo m' inerente ai due punti precedenti: m'=m+(px'-px)*x*.

Dalla funzione di domanda inversa(prezzo rispetto quantità che indica la somma massima spendibile per l'acquisto da parte del consumatore ) alla funzione di domanda diretta: si esplicita la q al posto della p e cioè si esprime la quantità rispetto al prezzo(con le opportune specificazioni che ci scaturiscono dalla somma spendibile dal consumatore);

Funzione di domanda collettiva = somma dei sistemi di funzioni di domanda individuali(sistemi perché derivano dal fatto che il consumatore oltre la somma massima spendibile(che ci deriva dalla funzione di domanda inversa) non è disposto a consumare e dunque la sua domanda per p>max spendibile è = a 0). La funzione di domanda collettiva avrà dunque dei punti angolosi.

Ricavo marginale ed elasticità: RMG= p*(1+1/ep).

DOTAZIONI FISICHE:

Determinazione di m nel caso di dotazioni fisiche: m=px*dx+py*dy.

Vincolo di bilancio nel caso di dotazioni fisiche: y=m/py-px/py*x.

Calcolo E o domanda lorda nel caso di dotazioni: con sistema: a)SMS=px/py; b)y=m/py-px/py*x(confronto E con dx e con dy e determino o la domanda netta o l'offerta netta);

Calcolo E' nel caso di dotazioni: con il sistema del punto precedente.

Scomposizione della variazione complessiva tra E' ed E nel caso di dotazioni fisiche in 1)effetto sostituzione,2) effetto reddito ordinario ed 3) effetto reddito da dotazione: 1)sistema: a) SMS=px'/py; b)pxz+pyz=px'+py; trovo xz e yz; ^xs=xz-x*; 2)sistema: a) SMS=px'/py ; b) m(originario)=px'*xr+py*yr; trovo xr e yr; ^xr=xr-xz; 3)differenza tra x**-xr.

PARTE 2:

TECNOLOGIA:

funzione di produzione degli isoquanti di perfetti sostituti: f(x,y)=x+y.

funzione di produzione di isoquanti con proporzioni fisse: f(x,y)=min(x,y).

funzione di produzione di isoquanti del tipo Cobb Douglas: f(x,y)=Ax°,y°(con ° parametri, perché sono a e b generalmente, diversi e comunque positivi).

Prodotto medio , rispetto al lavoro: PMEL=Q/L=f(L,K)/L(dove per Q oppure f(L,K)si intende la funzione di produzione).

Prodotto medio rispetto al capitale: PMEK=Q/K.

Prodotto marginale rispetto al lavoro: PMGL=§Q/§L=§f(L,K)/§L.

Prodotto marginale rispetto al capitale: PMGK=§Q/§K.

Prodotto marginale massimo rispetto al lavoro:PMGLmax=§PMGL/§L(si risolve in L).

Prodotto marginale massimo rispetto al capitale:PMGKmax=§PMGK/§K.

Prodotto medio massimo rispetto al lavoro: PMELmax=§PMEL/§L.

Prodotto medio massimo rispetto al capitale: PMEKmax=§PMEK/§K.

Prodotto totale massimo: Pmax=§Q/§L=PMGL(si risolve in L minimo e L massimo).

Equazione della curva di isoquanto: se ho una funzione di produzione = Q=5L+K*L; la risolvo in K=(100-5L)/L(sostituendo q=q°=100, che è il dato datomi dal testo).

Saggio marginale di sostituzione tecnica di K,L: SMSk,l,=§Q/§L/§Q/§K( da tenere presente il fatto che nel derivare se ho un + derivo solo la parte che mi interessa senza trascinarmi altro, mentre se ho un * derivo perzialmente tutta la funzione di produzione, e non l'equazione dell'isoquanto!, trascinandomi tutto quello che non ho derivato dalla funzione ma che è ad essa associata essendoci un *).

Esempio di funzione di produzione con proporzioni fisse: Q=min(L/2,K/5); da cui L/Q=' e K/Q=5(questi sono i dati che ci pervengono dalla stessa funzione di produzione);

Riferendomi al punto precedente se ho: q1=100 e q2=200: considerando dapprima q1=100: 2*100=200=L(lavoro) e 5*100=500=K(capitale); se considero q2=200 avrò: 2*200=400L e 5*200=1000=K; si noti che le proporzioni sono fisse: K/L indica il livello efficiente di combinazione delle tecniche produttive e cioè 5/2(=2,5).

Data una funzione di produzione=Q=f(K,L), moltiplicando tutti i fattori per T posso avere diversi rendimenti di scala e precisamente 3 tipi: 1) rendimenti di scala decrescenti: f(T*L,T*K)<T*f(L,K); 2) rendimenti di scala costanti: f(T*L,T*K)=T*f(K,L); 3) rendimenti di scala crescenti: f(T*L,T*K)>T*f(L,K).

Equazione della retta di isocosto sia nel lungo che nel breve periodo : C=Pl*L+Pk*K.

Scelta della tecnica produttiva ottima nel lungo periodo: dal sistema: a)SMSTk,l,=|dK/dL|=(§Q/§L)/(§Q/§K)=PMGL/PMGK=PL/PK; oppure più semplicemente (§Q/§L)/(§Q/§K)=PL/PK; b) C=PL*L+PK*K(retta di isocosto);

Il punto precedente ci dice che la scelta ottima si ha quando il SMSTk,l(cioè l'inclinazione dell'isoquanto) interseca il punto più basso della retta di isocosto.

Scelta della tecnica produttiva ottima nel breve periodo: dal sistema: a)K=K°; b) C=PL*L+PK*K.

Se ho delle combinazioni produttive efficienti e i prezzi dei due fattori L e K per sapere qual è la scelta produttiva ottima(cioè quella che minimizza i costi ) devo solo trovare il costo per ogni combinazione produttiva: PK*K+PL*L e ciò per ogni combinazione produttiva: il costo più basso corrisponderà alla scelta produttiva ottima(se vi è l'uguaglianza tra i prezzi PL e PK e il SMSTk,l la soluzione ottima sarà rappresentata da un segmento; se questa uguaglianza non sussiste la scelta ottima sarà una soluzione d'angolo).

Sentiero di espansione della produzione: esso deve soddisfare la condizione: SMSTk,l=PL/PK ovvero: (§Q/§L)/(§Q/§K)=PL/PK(si risolve in K: K=PL/PK*L).

FUNZIONI DI COSTO:

L* e K* nel lungo periodo: si risolve con il sistema: a)SMSTk,l=PL/PK; b)Q= . . ..; ovvero mettendo nel sistema il SMSTk,l come il precedenza calcolato e poi posto uguale al rapporto tra il prezzo del lavoro e quello del capitale e a differenza di quanto visto nella tecnologia, per la scelta della combinazione produttiva ottima, qui non si mette nel sistema l'equazione dell'isocosto, bensi quella dell'isoquanto e cioè quella della funzione di produzione Q; in sintesi il sistema è: a)(§Q/§L)/(§Q/§K)=PL/PK; b)Q=5L+20K(dati della funzione di produzione, isoquanto, a caso).

costo totale di lungo periodo: CTL= PL*L*+PK*K*(K* e L* si sono deteminati dal sistema descritto nel punto precedente).

Costo medio di lungo periodo: CMEL= CTL/Q.

Costo marginale di lungo periodo: CMGL= §CTL/§Q.

Costo totale di breve periodo: CT=PL*L+PK*K°(dove il termine con lo ° è quello fisso; bisogna poi trovare L inserendo K° nella funzione di produzione(cioè trovando la funzione di produzione di breve periodo), infine si ritorno nella funzione di CT e si hanno tutti i dati per calcolarlo).

Costo totale medio di breve periodo: CTME=CT/Q=(CV+CF)/Q.

Costo variabile medio di breve periodo: CVME=CV/Q.

Costo fisso medio di breve periodo: CFME=CF/Q.

Costo marginale di breve periodo: CMG=§CV/§Q=PL/PMGL

CONCORRENZA PERFETTA:SINGOLA IMPRESA:

condizione di ottimo , in generale, in concorrenza perfetta: CMG=p;

CMG di breve periodo: §CV/§Q;

CMG di breve periodo = p: §CV/§Q=p;

Risoluzione del punto precedente = funzione di offerta(generale) dell'impresa nel breve periodo;

Procedimento per il calcolo della funzione di offerta dell'impresa nel breve periodo: 1) calcolo il CMG di breve periodo come §CV/§Q(i dati CV li ho dalla funzione di CT di breve periodo che mi da il testo); 2) pongo CMG=p e risolvo in q; 3) calcolo i CMEV= CV/Q; 4) derivo rispetto a q i CMEV(§CMEV/§Q) e pongo = 0; 5) risolvo in q; 6) sostituisco quanto trovato nella funzione di CMEV ed ottengo i CMEV min; 7) la funzione di offerta che avevo precedentemente determinato partendo dalla condizione CMG=p vale per p < dei CMEV min ed è = a 0 per p compreso o uguale a 0 e i CMEV min;

Procedimento per il calcolo della funzione di offerta dell'impresa di lungo perido: si procede come per quella di breve periodo ma al posto dei  soli CV si considerano in modo opportuno e in ogni passaggio anche i CF(prima nel calcolo dei CMG=§(CV+CF)/§Q; ); si considerano in questo caso non i CMEV bensì i CMET(essendoci appunto non solo i CV ma anche i CF) e quindi si procede come segue: 1) CMET=(CV+CF)/Q; li derivo cioè §(CV+CF)/§Q; li pongo uguali a zero e risolvo in q che poi sostituisco nella funzione originaria di CMET e determino cosi i CMET minimi: la funzione di offerta determinata in precedenza è valida per p > ai CMET min ed è 0 per p compre o uguale a 0 e i CMET min.

N.B.: quando inizio a calcolare la funzione di offerta sia di breve che di lungo periodo dell'impresa parto sempre dal CMG=p. considero per esempio di essere nel breve periodo: CMG=p=§CV/§Q=p: a questo punto mi trovo di fronte una equazione di secondo grado con un parametro p come ad esempio 3q'-2q+1=p: mi comporto in questo modo: 3q'-2q+(1-p)=0 : adesso la risolvo utilizzando ACCURATAMENTE la formula classica che è uguale a : -b+/-radice di b'-4ac tutto /2a(fare passaggio per passaggio e infine se è possibile dividere il solo numeratore per un numero comune a entrambi i termini del numeratore(numero quest'ultimo che però non mi deve ire nel numeratore)).

Calcolo della quantità prodotta: so il prezzo di mercato e la funzione(generale ) di offerta dell'impresa: sostituisco p nella funzione di offerta e determino così q prodotta;

Calcolo del profitto: profitto: P*Q-CT(il prezzo di mercato per la quantità(determinata sostituendo il P nella funzione di offerta) meni la funzione di costo totale di breve o lungo periodo a seconda dei casi(sempre sostituendo in tale funzione i valori di q che avevo già determinato come già detto).

Un aumento dei CF nel breve periodo: genera una diminuzione dei profitti;

Un aumento dei CF nel breve periodo : non influisce sulla funzione di offerta dell'impresa che considera solamente i CMG di breve periodo nel breve appunto infatti si parte dalla condizione CMG=§(CV/§Q) senza includere anche i CF);

Un aumento dei CF nel lungo periodo: influisce sia sui profitti sia sulla funzione di offerta dell'impresa.

CONCORRENZA PERFETTA: INDUSTRIA:

equilibrio di breve periodo: Qs(p)=Qd(p) dove Qs(p) è la funzione di offerta di breve periodo del mercato o industria e Qs(p) e la funzione di domanda di breve periodo del mercato.

risolvendo il punto precedente per p si ottiene p* del mercato;

sostituendo p* del mercato in Qs(p) o in Qd(p) si ottiene q* del mercato;

sostituendo invece sempre p* del mercato ma in Qis(funzione di offerta della singola impresa 9 si ottiene qis* cioè la quantità ottima offerta da ogni singola impresa;

ricavi totali di breve periodo: RT=P ottimo* Qottimo;

nel lungo periodo la curva di offerta dell'impresa può essere approssimata ad una retta orizzontale con ordinata pari al livello di costi medi minimi (CME min.);

CT a breve di una impresa rappresentativa di altre 100 identiche: la funzione di offerta dell'industria è uguale al prodotto di 100 per la curva di offerta della singola impresa, calcolata come in precedenza già visto: Qs(p)=100*Qi(p).

P* del mercato: si desume dall'uguaglianza di equilibrio: Qs(p)=Qd(p) risolvendo per p.

Q* di mercato : si ottiene sostituendo p+ di mercato in Qs(p) o in Qd(p).

Qi* della singola impresa si ottiene sostituendo p+ di mercato  nella funzione di offerta dell'impresa nel breve periodo e cioè in Qi(p).

Somma orizzontale di due sistemi di funzioni di offerte dei due tipi di imprese che formano l'industria: faccio la somma vera e propria con attenzione ai valori dei CMEV minimi;

Nel caso del punto precedente: se devo determinare p+ di mercato: considero solo la Qs(p) maggiore del sistema di funzioni di offerta che formano il sistema Qs(p) e la pongo in uguaglianza alla funzione di domanda a breve del mercato Qd(p);

Nel caso suddetto se devo calcolare le quantità prodotte offerte dai due tipi di imprese : sostituisco il p+ di mercato rispettivamente prima nella funzione di offerta a breve del primo tipo di imprese e poi nella funzione di offerta a breve del secondo tipo di imprese .

Curva di offerta di lungo periodo approssimata: si calcola così: CME=CV+CF/Q; §CME=0; trovo così qi; sostituisco qi nella funzione originaria di CME(in tutta sia numeratore che denominatore): trovo p= . ..=funzione di offerta dell'industria di lungo periodo approssimata.

Quantità ottima di mercato riferendomi al punto precedente: q*= sostituisco p= . ., cioè la funzione di offerta dell'industria di lungo periodo approssimata nella funzione di domanda di lungo periodo.

Determinazione del numero delle imprese sul mercato riferendomi ai due punti precedenti: q*/qi.

Variazione q* se varia Qd(p): sostituisco sempre p* nella nuova Qd(p) e trovo il nuovo q*, cioè q**.

Numero delle nuove imprese sul mercato : q**/qi.

PARTE 3:

MONOPOLIO: CONFRONTO MONOPOLIO - CONCORRENZA PERFETTA:

il vincolo del monopolista è la curva di domanda del mercato infatti nel monopolio: curva di domanda aggregata di mercato = curva di domanda del monopolista.

profitti: P*perQ*-CT(q);

profitti: RT-CT

Ricavi marginali: §RT/§Q

Costi marginali: §CT/§Q

RT= p*q

Massimizzazione dei profitti: Max prof=§profitti/§Q(risolta in q= q* che sostituito nella Qd(p) o nella Qs(p) mi da il p*(di mercato se in Qs(p) o della singola impresa se in Qis(p)).

Condizione di ottimo in monopolio: CMG=RMG.

RMG= p*(1-l/El.dom.prezzo).

P*concorrenza= CMEtot.min.= a)CMEtot:=CT/Q; b) §CMEtot./§Q; c)§CMEtot/§Q=0;   d) trovo qi(produttività della singola impresa); e) sostituisco in CMEtot=trovo CMEtot. Min.;

Q* di concorrenza: sostituisco qi trovato in precedenza nella funzione di domanda inversa che il testo mi dà e trovo così Qs(p);

Numero delle imprese : Qs(p)/Qi(p).

MONOPOLIO: DUE IMPIANTI:

funzione di domanda totale1,2,: da P(q)=1000-2q ottengo: P(qt)=1000-2(qt) con qt=q1+q2;

calcolo il ricavo totale 1,2,: RT1,2,=RT(qt); RT(qt)=p*qt(cioè: 1000-2(qt)*qt, da cui ottengo 1000qt-2qt^2;

ricavo marginale1,2=RMG1,2,=RMG(qt)=§RT(qt)/§(qt)e cioè 1000-4qt;

sistema per determinare q1* e q2*: a) RMG(qt)=CMG1(dove CMG1 = §CT1/§Q1); b) RMG(qt)=CMG2; ottengo q1* e q2*;

quantità totale ottima: q*=q1*+q2*;

prezzo di mercato: sostituisco nella funzione di domanda trasformata il q* ed ottengo p* di mercato.

Profitti 1 e profitti 2: dal sistema estrapolo q*1 e sostituisco nella CT1: p(qt)* q*1-CT1 = profitti 1; analogamente per l'impresa 2; profitto 1 + profitto 2 = profitto totale.

MONOPOLIO: DICRIMINAZIONE DI 3° TIPO:

20) si risolve il problema con il sistema: a)RMG1=CMGtot; b)RMG2=CMGtot(poi si seguono le formule già viste per calcolare il ricavo 1 e il ricavo 2 e il profitto 1 e il profitto 2 e il profitto totale 1,2,).

MONOPSONIO:

spesa totale(Stot): STOT=funzione di offerta moltiplicata per q: ad esempio (100+q)*q;

spesa marginale(SMG): derivata della spesa totale rispetto a q e cioè: §STOT/§Q e cioè 100+2q;

equilibrio e determinazione di q*: in equilibrio SMG=funzione di domanda ; da cui si ottiene q*;

prezzo ottimo p*: si sostituisce q* nella funzione di offerta originaria(100+q) e si ottiene 100+300=400.

MONOPOLIO BILATERALE:

NO.

PARTE QUARTA:

DUOPOLIO DI COURNOUT:

profitto impresa 1: profitto = p*(q1+q2)*q1- CT 1(q1);

profitto impresa 2: profitto = p*(q1+q2)*q2 - CT 2(q2);

ricavi totali impresa 1: RT 1= p*(q1+q2) * q1;(dove p*(q1+q2) rappresenta la funzione di domanda inversa e dove q1 rappresenta la quantità 1);

ricavi totali per l'impresa 2: RT 2=p*(q1+q2)*q2;

ricavi marginali impresa 1: RMG 1= §RT 1/§q1,2,=§p*(q1+q2)*q1/§q1,2,;

ricavi marginali impresa 2: §RT2/§q1,2,=§p*(q1+q2)*q2/§q1,2,;

costo marginale per l'impresa 1: CMG 1= §CT 1(q1)/§q1;

costo marginale per l'impresa 2: CMG 2= §CT 2/§q2;

se la tecnologia è identica i CMG 1 e i CMG 2 sono = e ciò comporta che anche i CT 1 e il CT 2 sono uguali;

se il testo mi dà, al posto, delle due funzioni di CT e cioè CT 1 e CT 2 , i CMG 1 e il CMG 2 : ottengo il CT 1= CMG 1*Q1; CT 2=CMG2*Q2;

funzioni di reazione delle due imprese: esse si desumono dal seguente sistema in cui q1 rappresenta la funzione di reazione dell'impresa 1 e q2 rappresenta la funzione di reazione dell'impresa 2: il sistema è il seguente: a) RMG 1 = CMG 1 ; b) RMG 2= CMG 2;

q1= f. di reazione di impresa 1; q2 =f. di reazione di impresa 2;

se risolvo , sostituendo i valori di q1 nella seconda parte del sistema , per determinare il valore di q2 , ottengo q1* e q2*;

sostituendo nella funzione di domanda inversa p(q)=100-0,5(q1+q2),(ad esempio), q1* e q2* trovati dal sistema ottengo il prezzo di equilibrio di mercato e cioè p*;

adesso posso calcolare i RT1= p**q1*; e RT2: p**q2;

calcolo dei profitti 1 e 2 : profitti 1= RT 1 - CT 1 (q1) e cioè = profitti = p**q1*-CT 1(q1); profitto impresa 2= p**q2*-CT2(q2);

calcolo il profitto totale : profitto totale = profitto 1 + profitto 2;

se ho una tassa su ogni unità prodotto la funzione di Ct 1 e Ct2 si modificano aggiungendo l'importo della tassa seguito da, rispettivamente, q1 o q2 ( ad esempio se ho CT 1 = 10+2q1 e viene introdotta una tassa su ogni unità prodotta di 2 la funzione di CT 1 diventa= 10+2q1+2q1=10+4q1;

se ho una tassa fissa questa modifica la funzione di CT 1 e di CT 2 aggiungendosi ma senza essere seguita dalla variabile q1 o q2 e nel caso della CT 1 del punto precedente questa sarebbe divenuta = CT1 = 10+2q1+2= 12+2q1;

procedimento per la risoluzione completa di un esercizio di duopolio di cournout: prima di tutto calcolo i ricavi marginali 1 e 2 e i costi marginali 1 e 2 , con le formule già viste; poi utilizzo il sistema già illustrato per determinare le due funzioni di reazione dell'impresa 1 e dell'impresa 2 ; poi risolvo il sistema e determino così le quantità ottime q1* e q2*; poi sostituisco le q1* e le q2* nella funzione di domanda inversa e determino così il prezzo di equilibrio e cioè p*; adesso ho tutti i dati per calcolare prima i ricavi totali 1 e i ricavi totali 2 e poi i profitti 1 e i profitti 2 e infine faccio la somma dei profitti 1 e dei profitti 2 e determino così i profitti totali; se vi è una variazione, nel senso che viene introdotta una tassa sull'unità prodotta o una tassa fissa , questa andrà a variare le due funzioni di Ct e cioè CT 1 e CT 2 e poi rifaccio l'intero procedimento sopra detto per rideterminare i RMG1,2 e i CMG1,2 e le funzioni di reazione 1,2, e le quantità ottime 1,2, e il prezzo di equilibrio e infine nuovamente i ricavi totali 1,2, e i profitti 1,2 e infine i profitti totali; al termine si può fare un confronto tra la situazione antecedente all'introduzione della tassa e quella successiva vedendo come si sono modificati i ricavi totali e di conseguenza anche i profitti.

DUOPOLIO DI STAKELBERG:

trovo la funzione di reazione del fallower con il sistema: a) RMG1=CMG1; b)RMG2=CMG2; dove RMG1=§RT1/§Q1 e cioè§P*(Q1+Q2)*Q1/§Q1 e analogamente per determinare Q2(da notare che derivo anche ciò che non contiene la Q e inoltre se derivo rispetto a Q1 ed ho da derivare ad esempio 5q2,1, mi sparisce l'1 e resta 5q2).(da notare che è lo stesso sistema utilizzato anche nel duopolio di cournot ; bisogna stare attenti a quale dei due produttori è leader e quale e fallower per risolvere il sistema nella q1 o q2 che ci interessa, e cioè quella del fallowe: assumiamo che il fallower sia il produttore 2 e cioè risolvo il sistema e q2 è la mia funzione di reazione);

equazione del profitto per l'impresa leader: profitti 1 = P*(Q1+Q2)*Q1-CT(Q1): la imposto e sostituisco nella stessa , al posto di Q2 , la funzione di reazione del fallower e faccio semplicemnte i calcoli.

Massimizzazione del profitto del leader= MAX Prof=§profitti/§Q1 e poi pongo = 0: risolvo e trovo così q2*; sostituisco q2* nella funzione di reazione del fallower e trovo q1*.

Calcolo del prezzo: P= sostituisco q1* e q2* nella funzione di domanda inversa.

Calcolo il profitto del leader: Profitto 1= P*q1*-CT(da notare che per calcolare CT devo sostituire nella funzione di CT q1*).

Calcolo del profitto per il fallower: analogamente  al profitto calcolato per il leader.

I sei punti suddetti sono sempre validi per il duopolio di stackelberg ed essi rappresentano il procedimento da seguire.

DUOPOLIO COLLUSIVO:

in generale ci si comporta come nel caso di monopolio con due impianti e cioè si risolve il sistema:a) CMG1=CMGtot;b)CMG2=CMGtot.

Se ho stessa tecnologia, oppure stessi costi marginali , oppure se Ct1=ct2: ciò vuol dire che mi posso comportare come nel caso di un semplice monopolio in cui massimizzo però i profitti congiunti:

Procedimento riferito al punto 2 suddetto: 1) imposto  l'equazione dei profitti congiunti= P*Q-CT(dove P=funzione di domanda inversa; Q è la quantità che è uguale per le due imprese e CT è la funzione di CT che è uguale per le due imprese); 2)massimizzo i profitti: MAX prof=§(P*Q-CT)/§Q e pongo = a 0: risolvo e trovo Q totale: divido per 2 perché vi sono due imprese e trovo Q1 e Q2.; 3) calcolo il prezzo P: sostituisco nella funzione di domanda Q1 e Q2.4) calcolo i RT1=P*Q1 e RT2 =P*Q2; 5) calcolo i CT=sostituisco Q nella funzione di CT; 7) calcolo i profitti 1 e 2 : differenza tra ricavi totali e costi totali sia 1 che 2 (da notare che in questo caso i profitti, come pure i costi e i ricavi sono uguali per le due imprese);8) calcolo i profitti totali: sommo profitti 1 a profitti 2.

CONCORRENZA MONOPOLISTICA:

NO.

MODELLO DI BERTRAND: LEADERSHIP DI PREZZO:

1) adotto le stesse regole della concorrenza perfetta, di breve e di lungo periodo sia per la singola impresa che per l'industria  qualsiasi cosa mi venga richiesta.