IL NUMERO INDICE

Un numero indice è una misura statistica ideata per mostrare i cambiamenti in una variabile, o in un gruppo di variabili collegate rispetto al tempo, alla localizzazione geografica o ad altre caratteristiche come la professione, le entrate, ecc.

Una raccolta di numeri indice per differenti anni, localizzazioni è talvolta detta serie indice.

APPLICAZIONI DEI NUMERI INDICE

Usando i numeri indice possiamo, ad esempio, confrontare i costi del cibo o di altri beni in una città durante un anno con quelli dell'anno precedente, o possiamo confrontare la produzione di un determinato bene in un dato anno in una regione del paese con quella in un'altra regione. Benché usati soprattutto in materia economica, i numeri indice possono essere applicati in molti altri campi. Nell'istruzione, ad esempio, possiamo usare i numeri indice per confrontare l'intelligenza degli studenti in diverse località o in differenti anni.

Molti uffici governativi e privati sono soliti calcolare i numeri indice o indici, come spesso sono detti, per poter prevedere future condizioni economiche, per poter fornire indicazioni generali, ecc. Così abbiamo indici dei salari, indici della produzione, indici della disoccupazione, e molti altri. Forse il più conosciuto è l'indice del costo della vita, preparato dall'ISTAT. In molti contratti di lavoro, apparivano le cosiddette clausole della scala mobile che incrementavano automaticamente i salari, in corrispondenza al crescere dell'indice del costo della vita.

INDICI SEMPLICI DEI PREZZI

Un esempio di numero indice è l'indice semplice dei prezzi, che è il rapporto tra il prezzo di un singolo bene in un dato periodo di tempo e il prezzo dello stesso bene in un altro periodo, detto periodo base. Per semplicità si assume che i prezzi siano costanti in ogni periodo. Se non lo sono, si può calcolare un'appropriata media del periodo in esame, rendendo così valida l'assunzione.

Se p e pn indicano i prezzi del bene rispettivamente nel periodo base e nel periodo dato, allora per definizione:

Indice semplice dei prezzi = pn/p

e viene generalmente espresso in forma percentuale moltiplicata per 100.

Più generalmente, se pa e pb sono i prezzi di un bene rispettivamente nei periodi a e b, l'indice semplice dei prezzi del periodo b rispetto al periodo a è definito dal rapporto pb/pa e viene indicato con pa‌b, notazione che tornerà utile. Con tale notazione l'indice semplice dei prezzi dell'equazione illustrata sopra può essere indicata con pa‌b

Notare che l'indice per un dato periodo rispetto allo stesso periodo è sempre il 100%, o 100. In particolare l'indice corrispondente ad un periodo base è sempre 100. Ciò spiega la ragione della notazione spesso usata nella letteratura statistica: per esempio "1970=100" indica che l'anno 1970 è preso come anno base.

PROPRIETA' DEGLI INDICI SEMPLICI DEI PREZZI

Se pa, pb, pc . sono i prezzi dei periodi rispettivamente a,b,c, . , si possono stabilire le seguenti proprietà degli indici semplici:

Proprietà di identità

pa‌a

ciò stabilisce semplicemente che l'indice semplice dei prezzi di un dato periodo rispetto allo stesso periodo è 1, ovvero il 100%.

Proprietà di reciprocità temporale

pa‌bpb‌a

questa proprietà stabilisce che, se i periodi vengono interscambiati, i corrispondenti indici semplici dei prezzi sono l'uno il reciproco dell'altro.

Proprietà ciclica o circolare

pa‌bpb‌cpc‌a

Proprietà ciclica o circolare modificata

pa‌bpb‌c=pa‌c

INDICI SEMPLICI DELLA QUANTITA' O DEL VOLUME

Invece che al confronto dei prezzi di un bene, possiamo essere interessati al confronto delle quantità o volumi del bene stesso, come la quantità o volume della produzione, del consumo, delle esportazioni, ecc. In tali casi parliamo di indici semplici della quantità o indici semplici del volume. Per semplicità come nel caso dei prezzi, si assume che le quantità restino costanti in ogni periodo. Se non restano costanti, si può calcolare un'appropriata media del periodo preso in esame.

Se q indica la corrispondente quantità prodotta, consumata, esportata, ecc durante un periodo base, mentre qn indica la corrispondente quantità prodotta, consumata, esportata, ecc durante un dato periodo, definiamo:

Indice semplice della quantità o del volume = qn/q

che viene generalmente espresso come una percentuale.

Come nel caso degli indici semplici dei prezzi usiamo la notazione qa‌b=qb/qa per indicare l'indice semplice della quantità del periodo b rispetto al periodo a. Agli indici semplici della quantità si possono applicare le stesse osservazioni e le stesse proprietà degli indici semplici dei prezzi.

INDICI SEMPLICI DEL VALORE

Se p è il prezzo di un bene in un certo periodo e q è la quantità prodotta, venduta, esportata, ecc. durante lo stesso periodo, allora il prodotto pq è detto valore del bene.

Se p e q indicano il prezzo e la quantità di un bene nel periodo base, mentre pn e qn indicano il prezzo e la quantità corrispondenti in un dato periodo, i valori in questi periodi sono dati rispettivamente da v e vn e definiamo:

Indice semplice del valore = vn/v = pnqn/p q = (pn/p )(qn/q

= indice semplice dei prezzi x indice semplice della quantità

Agli indici semplici del valore si possono applicare le stesse osservazioni e le stesse proprietà degli indici semplici dei prezzi e degli indici semplici della quantità. In particolare, se pa‌b, qa‌b e va‌b indicano l'indice semplice dei prezzi, della quantità e del valore del periodo b rispetto al periodo a, allora, vale la seguente:

va‌b = pa‌bqa‌b

che è detta proprietà della reciprocità dei fattori.

INDICI SEMPLICI COLLEGATI E CONCATENATI

Rappresentino p , p , p i prezzi in successivi intervalli di tempo 1,2,3, . Allora p , p , p rappresentano gli indici semplici dei prezzi di ciascun intervallo di tempo rispetto al precedente intervallo di tempo e vengono detti indici semplici collegati.

L'indice semplice dei prezzi di un dato periodo rispetto ad un qualsiasi altro periodo preso come base, può sempre essere espresso in termini di indici semplici collegati. Questa è una conseguenza della proprietà ciclica o circolare. Così, ad esempio:

p = p p p

Gli indici semplici dei prezzi rispetto ad un periodo base fisso, che, come si è visto può essere ottenuto usando indici semplici collegati, sono talvolta detti indici semplici concatenati rispetto a tale base.

Tutti questi concetti possono essere applicati anche agli indici semplici della quantità e del valore.

PROBLEMI CHE SORGONO NEL CALCOLO DEI NUMERI INDICE

Nella pratica non siamo tanto interessati a confrontare prezzi, quantità e valori dei singoli beni, quanto a confrontare grandi gruppi di beni. Per esempio, nel calcolare l'indice del costo della vita, non solo vogliamo confrontare il prezzo del latte in un periodo rispetto ad un altro periodo, ma anche i prezzi delle uova, della carne, del pane, degli affitti, del vestiario, ecc.., così da ottenere un quadro generale. Naturalmente potremmo limitarci a comporre una lista degli indici semplici dei prezzi di tutti i beni. Ciò, tuttavia, non sarebbe soddisfacente. Ciò che noi desideriamo è un singolo numero indice dei prezzi, che confronti i prezzi dei due periodi in media.

Non è difficile prevedere che il calcolo di numeri indice implicanti gruppi di beni fa sorgere molti problemi che devono essere risolti. Così, nel calcolare un indice del costo della vita, per esempio, dobbiamo decidere quali beni includere ed anche che pesi attribuire alla loro importanza. Dobbiamo raccogliere dati concernenti i prezzi e le quantità di questi beni. Ci troviamo di fronte a problemi del tipo: come comportarsi quando si trovano diverse qualità dello stesso bene, o come fare quando un bene, diffuso in un dato anno, non è presente sul mercato nell'anno base. Infine dobbiamo decidere come mettere insieme tutte queste informazioni e derivarne un singolo numero indice del costo della vita che abbia un significato pratico.

L'USO DELLE MEDIE

Dato che vogliamo arrivare ad un singolo numero indice condensando una grande quantità di informazioni è facile accorgersi che le medie coprono un importante ruolo nel calcolo dei numeri indice.

Proprio come esistono molti metodi per calcolare le medie, così ci sono molti metodi per calcolare i numeri indice, ciascuno con i suoi vantaggi e svantaggi.

METODO AGGREGATIVO SEMPLICE

In tale metodo di calcolo di un indice dei prezzi esprimiamo il totale dei prezzi dei beni in un dato anno come una percentuale del totale dei prezzi dei beni nel periodo base. In simboli, abbiamo:

Indice complessivo dei prezzi = Σpn/Σp

Dove:

Σp = somma dei prezzi di tutti i beni nel periodo base

Σpn = somma dei prezzi di tutti i beni nell'anno dato.

Il risultato è espresso in percentuale, come i numeri indice in generale.

Benché il metodo abbia il vantaggio di essere facile da applicare ha tuttavia due grandi svantaggi che lo rendono insoddisfacente:

Non prende in considerazione l'importanza relativa dei diversi beni. Così, secondo questo metodo, si dovrebbero attribuire ugual peso o importanza al latte e alle lozioni dopobarba nel calcolo dell'indice del costo della vita.

Le particolari unità di misura usate nelle quotazioni dei prezzi come i litri, le staia, i chilogrammi, ecc., possono distorcere il valore dell'indice.

METODO DELLA MEDIA ARITMETICA DEGLI INDICI SEMPLICI

Di questo metodo esistono diverse versioni, secondo il procedimento usato per fare la media degli indici semplici: la media aritmetica, la media geometrica, la media armonica, la mediana, ecc. Usando la media aritmetica, per esempio, avremmo:

Media aritmetica degli indici semplici dei prezzi = (Σpn/p )/N

Dove:

Σpn/p = somma di tutti gli indici semplici dei prezzi

N= numero degli indici semplici dei prezzi dei beni usati.

Questo metodo non presenta il secondo svantaggio del metodo aggregativo mentre presenta ancora il primo svantaggio.

METODO AGGREGATIVO PONDERATO

Per superare gli svantaggi del metodo aggregativo semplice ponderiamo i prezzi di ogni bene con un adeguato fattore, che spesso è la quantità o il volume del bene venduto durante l'anno base, l'anno dato o un anno tipico (che può implicare la media dei diversi anni). Tali pesi indicano l'importanza del bene in questione. Si può ricorrere a tre possibili formule, secondo se siano usate le quantità dell'anno base, dell'anno dato o di un anno tipico, indicate rispettivamente da q , qn e qt

Indice di Laspeyres o metodo dell'anno base

Indice complessivo ponderato dei prezzi con pesi dati dalle quantità dell'anno base:

Σpnq /Σp q

Indice di Paasche o metodo dell'anno dato

Indice complessivo dei prezzi con pesi dati dalle quantità dell'anno dato

Σpnqn/Σp qn

Metodo dell'anno tipico

Se indichiamo con qt il peso dato dalla quantità di un periodo tipico t, definiamo l'indice complessivo ponderato dei prezzi con pesi dati dalle quantità di un anno tipico:

Σpnqt/Σp qt

INDICE IDEALE DI FISHER

Definiamo l'indice dei prezzi ideale di Fisher come:

√(Σpnq /Σp q )/(Σpnqn/Σp qn

Questo indice è la media geometrica dei numeri indici di Laspeyres e di Paasche dati nelle equazioni illustrate nel paragrafo precedente. Come già si è fatto notare, l'indice ideale di Fisher soddisfa sia il test della reciprocità temporale che il testi della reciprocità dei fattori, ciò da certi vantaggi teorici rispetto agli altri numeri indice.

L'INDICE DI MARSHALL - EDGEWORTH

L'indice di Marshall - Edgeworth usa il metodo aggregativo ponderato dell'anno tipico, dove i pesi sono dati dalla media aritmetica delle quantità dell'anno base e dell'anno dato, cioè

qt=( q +qn

sostituendo questo valore di qt nell'equazione precedente si ottiene:

Indice dei prezzi di Marshall - Edgeworth = Spn(q +qn Sp (q +qn

METODO DELLA MEDIA PONDERATA DEGLI INDICI SEMPLICI

Per superare gli svantaggi del metodo della media degli indici semplici, possiamo usare una media ponderata degli indici stessi. La media ponderata più spesso usata a questo proposito è la media aritmetica ponderata, benché possano essere usate anche altre medie ponderate come la media geometrica ponderata.

In questo metodo ponderiamo ogni indice semplice dei prezzi con il valore monetario corrispondente al totale del bene. Dato che il valore di un bene è ottenuto moltiplicando il prezzo p del bene per la quantità q, i pesi sono dati da pq.

In genere si usano tre formule, secondo se si considerano i valori dell'anno base, dell'anno dato o di un anno tipico, indicati rispettivamente da p q , pnqn, ptqt

Media ponderata degli indici semplici dei prezzi con pesi dati dai valori dell'anno base:

S(pn/p )(p q Sp q Spnq Sp q

Media ponderata degli indici semplici dei prezzi con pesi dati dai valori dell'anno dato:

S(pn/p )(pnqn Spnqn

Media ponderata degli indici semplici dei prezzi, con pesi dati dai valori di un anno tipico:

S(pn/p )(ptqt Sptqt

I NUMERI INDICE DELLA QUANTITA' O DEL VOLUME

Le formule descritte sopra per ottenere i numeri indice dei prezzi possono essere facilmente modificate per ottenere i numeri indice della quantità o del volume, semplicemente interscambiando p e q.

NUMERI INDICE DEL VALORE

Proprio come abbiamo ottenuto le formule per gli indici dei prezzi e del volume, così possiamo ottenere le formule per gli indici del valore. Il più semplice di tali indice è

Indice del valore = Spnqn Sp q

Dove:

il numeratore indica il valore totale di tutti i beni nel periodo base

il denominatore indica il valore totale di tutti i beni nel periodo dato.

Questo è un indice complessivo, dato che i valori non sono stati ponderati. Possono essere ricavate altre formule in cui usiamo dei pesi per indicare l'importanza relativa dei beni.

CAMBIAMENTO DEL PERIODO BASE DEI NUMERI INDICE

Nella pratica è desiderabile che il periodo base scelto per i confronti sia un periodo di stabilità economica non troppo lontano nel passato. Di tanto in tanto può quindi essere necessario cambiare questo periodo base.

Una possibilità è di ricalcolare tutti i numeri indice usando il nuovo periodo base. Un metodo approssimato più semplice è di dividere tutti i numeri indice dei diversi anni corrispondenti al vecchio periodo per il numero indice corrispondente al nuovo periodo base, esprimendo i risultati in percentuali. Questi risultati rappresentano i nuovi numeri indice, e il numero indice del nuovo periodo base è pari al 100(%).

Matematicamente parlando questo metodo è strettamente applicabile solo se i numeri indice soddisfano il test circolare. Tuttavia, per molti tipi di numeri indice, il metodo fornisce risultati che in pratica sono abbastanza prossimi a quelli che si sarebbero ottenuti in teoria.

DEFLAZIONE DELLE SERIE TEMPORALI

Benché gli stipendi degli individui possano in teoria aumentare in un certo periodo di anni, il loro stipendio reale può in realtà essere decrescente a causa dell'aumento del costo della vita e quindi a causa della diminuzione del potere di acquisto. Questi stipendi reali possono essere ottenuti dividendo lo stipendio apparente o nominale dei diversi anni per i numeri indice del costo della vita dei diversi anni, usando un appropriato periodo base.

Per esempio, se lo stipendio di un individuo nel 1960 è il 150% dello stipendio nel 1950 (cioè è cresciuto del 50%) mentre l'indice del costo della vita è raddoppiato nello stesso periodo, lo stipendio reale dell'individuo nel 1960 è solo il 150/2 = 75% di quello del 1950.

Abbiamo descritto sopra il processo di deflazione di una serie temporale implicante gli stipendi. Un procedimento analogo può essere usato per deflazionare altre serie temporali.

Matematicamente parlando, questo metodo per deflazionare una serie temporale è applicabile strettamente solo se i numeri indice soddisfano il test della reciprocità dei fattori, e per questa ragione è adatto l'indice ideale di Fisher. Tuttavia, possono essere usati altri numeri indice, dato che portano a risultati che, per molti scopi pratici, sono corretti.