PROBLEMI DI NATURA FINANZIARIA

Riguardano CAPITALI monetari ovvero somme di denaro

e la loro disponibilità nel tempo

B  A

t_-l t₀ t₁

Asse dei tempi

I problemi A spostano i capitali avanti nel tempo ovvero

se C₀ è disponibile a t₀

    C₁ ? disponibile a t₁

tale che C₀ e C₁ siano EQUIVALENTI

i problemi A sono problemi di INTERESSE

i problemi B spostano i capitali indietro nel tempo ovvero

se C₀ disponibile al tempo t₀

C_-l ? disponibile a t_-l

tale che C₀ e C_-l siano EQUIVALENTI

i problemi B sono problemi di SCONTO

Per portare C₀ al tempo t₁ dobbiamo calcolare l'interesse

I = C x r x t / 100

I = C x r x m / 1.200

I = C x r x g / 36.500

C₁ si chiama MONTANTE

per cui C₀ + I = C₁ cioè M

Allo stesso modo per spostare C₀ al tempo t_-l dobbiamo calcolare lo SCONTO

S = C x r x t / 100

S = C x r x m / 1.200

S = C x r x g / 36.500

La formula è la stessa ma il tempo:

nell'interesse è POSITIVO e infatti I si aggiunge a C à M

nello sconto è NEGATIVO e infatti
  C_s = C₀ - S

Cs si chiama VALORE ATTUALE e dipende:

da C

dal tasso r

dal periodo di tempo t

Quello che abbiamo appena visto è il regime di INTERESSE SEMPLICE

Il suo presupposto è che gli interessi si CALCOLANO/CAPITALIZZANO

Solo al termine del periodo t

(capitalizzare = sommare a C)

C M = C + I

t

t₀ t₁

periodo t

Vediamo ora la capitalizzazione COMPOSTA

Il suo presupposto è che gli interessi si CAPITALIZZANO a periodi di tempo FISSI e PREDETERMINATI

C₀ C₁ = C₂= C_n =

C₀+I C₁+I C_n-l+I

t₀ t₁ t₂ t_n

Nella maggior parte dei casi il periodo coincide con un anno, ma abbiamo anche regimi semestrali, trimestrali etc.

Presupposto fondamentale della C. composta è che I venga REINVESTITO

Per cui:

C₁ = C₀ + I     con I = C x i

Perché i = r / 100 e t = 1

Quindi C₁ = C₀ (1 + i)

C₂ = C₁ + C₁ x i = C₁ (1 + i) = C₀ (1 + i)²

e in generale

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

Abbiamo così spostato il capitale C dal tempo t₀ al tempo t_n trovando il suo capitale EQUIVALENTE à M

Ora possiamo chiederci: qual è il VALORE ATTUALE di un capitale C nell'ipotesi che venga investito oggi al regime di capitalizzazione composta?

Possiamo invertire la formula di M:

C_n = C₀ (i + i)ⁿ

à C₀ = C_n / (1 + i)ⁿ = C_n (1 + i)^-n

(1 + i)ⁿ fattore di capitalizzazione

(1 + i)^-n   fattore di attualizzazione

Il fattore di attualizzazione si usa per determinare l'impegno finanziario attuale che serve per ottenere un determinato capitale al tempo t

Vediamo ora un altro caso.

Supponiamo di voler costruire un capitale M al tempo t NON con un investimento unico MA con più versamenti distribuiti nel tempo.

R₁ R₂ R₃ R₄ R_n

t₁ t₂ t₃ t₄ t_n

Le ipotesi che stanno alla base di questi problemi sono:

il tasso d'interesse costante

le rate uguali tra loro

l'intervallo di tempo tra due investimenti successivi costante

Come si risolve questo problema?

Possiamo voler determinare:

il M dei versamenti al tempo n

il Va dei versamenti al tempo 0

l'importo delle rate R

Si tratta di risolvere un problema che richiede di portare avanti o indietro nel tempo somme uguali, ma per periodi diversi.

M = R (1+i)^n-l + R (1+i)^n-2 + R (1+i)^n-3 .

(1+i)ⁿ - 1

M = R -------------

i

non è altro che la somma di una progressione geometrica di ragione (1+i) e primo termine R

Allo stesso modo per Va:

Va = R (1+i)¹ + R (1+i)^-2 + R (1+i)^-n .

1 - (1+i) ^-n

Va = R ----- ----- ------

i

Caso particolare: rendita perpetua con t = infinito

Se abbiamo una rendita di rata R perpetua, possiamo calcolare Va

1 - (1+i)^-n

Infatti: Va = R ----- ----- ----------

i

dobbiamo vedere cosa succede a (1+i)^-n quando

n à infinito à (1+i)^-n tende a 0

per cui: Va = R / i

Queste due formule:

1 - (1+i)^-n

Va = R ----- ----- -----

i

Va = R / i

sono importanti in Economia aziendale perché servono per calcolare il VALORE ECONOMICO delle imprese

Infatti consideriamo:

R = profitto medio atteso

t = periodo di tempo di vita dell'impresa (può anche essere teoricamente infinito)

i = tasso di rendimento medio del capitale investito

Possiamo risolvere questo tipo di quesito: