Riepilogo concetti teorici e pratici - DERIVABILITA - INTERVALLO

Riepilogo concetti teorici e pratici.

1)TEOREMA SULLA CONTINUITA':

f:X R, XcR, x°cX°(ovvero punto interno al dominio), f derivabile ovvero fcC^1(X) allora f è anche continua ed anche la sua derivata prima è continua.

2)DERIVABILITA':

Se fcC^1(X) allora f è continua e la f'(x) : l'unico punto di discontinuità può essere quello di seconda specie.

3)INTORNO:

Si chiama intorno di un numero reale finito a un qualunque intervallo(a-r, a+r) di centro a e semi ampiezza r e si indica con U(a).

Gli intorni godono della proprietà di separazione degli intorni stessi dunque l'intorno di x° intersecato l'intorno di x1 è uguale all'insieme vuoto.

Ciò suddetto è alla base della dimostrazione del teorema di unicità del limite.

4)INTERVALLO:

Ve ne sono di 4 tipi, aperti, chiusi, aperti a destra e chiusi a sinistra, aperti a sinistra e chiusi a destra.

L'intervallo è un segmento di retta R.

5)INIETTIVITA':

Si verifica con il test di iniettività: tali funzioni sono tutte iniettive: y=x, y=e^x, y=x^3, y=src(scr vuol dire sotto radice cubica e srq vuol dire sotto radice quadrata) x^2,;

Iniettività: se x1 è diverso da x2 allora f(1) è diverso da f(2) ovvero a punti distinti presi sul dominio corrispondono immagini distinte nel codominio.

Iniettività: se f(x1)=f(x2) allora x1 è uguale a x2.

Una funzione iniettiva è: la funzione identità ovvero f(x)=x.

6)SURIETTIVITA':

La ottengo se x1 è diverso da x2 allora f(x1)= (fx2) ovvero presi punti distinti sul dominio ottengo immagini uguali.

Tramite il test di iniettività verifico che una funzione è suriettiva se tracciando delle rette parallele all'asse delle ascisse(ovvero il test di iniettività) ottengo che queste intersecano il grafico(che si indica con G(f)) della funzione almeno in due punti.

Una funzione suriettiva esaurisce l'insieme immagine infatti vale la seguente: aincluso deb(lo indico con c)in R e non a=R.

Una funzione suriettiva è: f(x)=x^2.

7)BIIETTIVITA':

Sia ha quando una funzione è contemporaneamente iniettiva e suriettiva ed un esempio potrebbe essere il seguente:

8)DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE:

f: N R, NcR.

L'unico limite che posso calcolare è per n + inf.

In Z ' ' ' ' ' ' ' n +/-inf.

In Z gli unici punti di accumulazione sono +/- inf.

Sia N sia Z sono radi ovvero formati da tutti punti isolati dunque per definizione in un punto isolato la funzione è continua.

Le successioni sono un caso particolare di funzione reale di variabile reale in quanto ci si comporta come con esse , tranne tranne che nel calcolo dei limiti.

Le successioni sono definite in N ed hanno valori in R.

Le funzioni reali sono definite in R(se a due variabili in R^2 R) ad hanno valori in R.

Nelle successioni vi è il dominio, il codominio, l'immagine e il grafico della funzione(f(n)) ma in termini di G(n) cambia qualcosa e quel qualcosa che varia è dovuto al fatto che l'unico punto di accumulazione per N è + inf. dunque l'unico limite calcolabile e per n + inf.

Una successione si indica con [An] (al posto delle quadre vi sono le graffe) dove An è il termine generale della successione.

In N ogni punto è punto isolato dunque non ha senso parlare di intorno di un punto ovvero di punto di accumulazione come per le funzioni reali di variabile reale , per il calcolo dei limiti.

9)ESTREMA SUPERIORE:

Sia a un insieme di numeri reali non vuoto e limitato tale cioè che esista un beta appartenente a R maggiore di tutti gli elementi di A. il valore S appartenente a R si dice estremo superiore di A(S=Sup A) se: 1) s>= alpha per ogni alpha appartenente ad A; 2)per epsilon strettam. Maggiore di 0 esiste alpha appart. ad A : S-eps<alpha<S.

Estremo superiore non è altro che il minimo dei maggioranti.

10)ESTREMO INFERIORE:

Sia A un insieme di n° reali non vuoto e lim. inferiormente tale cioè che esista un elemento minore di tutti gli elementi di A. il valore S appart. a R si dice estremo inferiore di A(S=infA) se: 1) S<=alpha per ogni alpha appart. a R; 2) per ogni eps. >0 esiste alpha appart. a A tale che(da adesso lo indico con :) A<=alpha<s+eps.

L'estremo inferiore non è altro che il massimo dei maggioranti.

11)INSIEME LIMITATO:

Se un insieme A è lim. sia inf. che sup. ed un n° reale a appartenente a tale insieme allora è di massimo o minimo allora ci si rifà al teorema di Weielstrass ipotizzando che la funzione si continua ovvero fcC^°(A) e che la funzione sia definita su un compatto o intervallo chiuso o restrizione di R.

12)MAGGIORANTE:

KcR e K>=X dove XcR allora K è maggiorante se >= di qualsiasi elemento dell'insiem XcR.

Se trovo un maggiorante ne trovo infiniti.

13)MINORANTE:

KcR e k<=0 e XcR allora K è minorante <= di qualsiasi elemento dell'insieme XcR.

Se trovo un minorante ne trovo infiniti.

14)INSIEME SUPERIORMENTE LIMITATO:

Si ha quando l'ins. XcR ammette almeno un maggiornate;

15)INSIEME INFERIORMENTE LIMITATO:

Si ha quando l'ins. XcR ammette almeno un minorante.

16)INSIEME LIMITATO:

Si ha quando l'ins. XcR ammette almeno un maggiorante e un minorante.

17)ESTREMO SUPERIORE:

Date le condizioni : 1)XcR, 2)x diverso da ins. Vuoto; 3) X lim. superiorm. Allora ScR si dice estremo superiore del'ins. X se è il minimo dei maggioranti s=Sup X se poi l'estremo superiore è compreso nell'ins. X è massimo assoluto e ci si rifa sempre al teorema di Weielstrass(sempre sotto le sue condizioni).

18)ESTREMO INFERIORE:

date le stesse condizioni che valgono per l'estremo superiore ScR si dice estremo inferiore dell'ins. X se è il massimo dei minoranti S=inf X se poi l'estremo superiore è compreso nell'ins. X è minimo assoluto.

19)INSIEME ILLIMITATO SUPERIORMENTE:

Esso si indica nel segunete modo: S Sup X=+ inf.

20)INSIEME ILLIMITATO INFERIORMENTE:

Esso si indica nel seguente modo: S inf X=-inf.

21)DEFINIZIONE DI ESTREMO SUPERIORE:

Dato ScR e S>=x, per ogni x appart. X per ogni eps. >0 esiste x* appart. a X: s-eps.<x*, ovvero se tolgo qualcosa (eps.) non è più maggiornate.

22)EQUIPOTENZA O UGUALE CARDINALITA':

Se ad ogni elemento di N corrisponde sempre un elemento di Z i due insiemi hanno uguale cardinalità.

N,Z,Q, sono tutti è tre numerabili dunque hanno uguale cardinalità.

R non è numerabile.

23)POTENZA DEL CONTINUO:

se preso un qualsiasi insieme esso ha la stessa numerabilità di R.

24)PERMUTAZIONI SEMPLICI:

Pn,k=n!

25)PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE:

P*n,k: n!/k1!*k2!* .

Si utilizza tale formula, tra le altre cosa, per calcolare il numero degli anagrammi di una parola in cui si ripetono una o più lettere.

26)COMPLETEZZA DI R:

Ogni insieme non vuoto e limitato superiorm. Ammette in R estremo superiore e se non vuoto e lim. inf. ammette in R estremo inf; allora se l'insime è lim. sup. e lim. inf. l'insieme è limitato mentre se è lim. solo inf o solo sup quindi ho estremo sup e non inf o viceversa allora l'insieme è illimitato o limitato a destra e non a sinistra e viceversa lim a sinistra e non a destra.

Se vi sono minoranti e maggioranti di un insieme allora vi sono estremo sup. ed estremo inf. dell'insieme , allora la funzione o l'insieme è limitato; infine se l'estremo sup. e inf appartengono all'ins. Essi massimo e minimo assoluto.

Il teorema della completezza non vale in Q.

27)PUNTO INTERNO:

Per definizione un insieme è aperto se ogni suo punto è punto interno.

Si ha punto interno se: un punto a dell'ins. AcR si dice interno ad A se appart. ad A ed inoltre esiste un suo intorno contenuto in A.

28)PUNTO ESTERNO:

Un p.to a dell'ins. AcR si dice esterno ad A se non appartiene ad A ed esiste un suo intorno U(a) tale che U(a) intersecato A è diverso dall'ins. Vuoto.

29)PUNTO ISOLATO:

Il contrario di punto isolato è punto di accumulazione.

Un p.to a appart. ad un insieme AcR è detto isolato di A se esiste un intorno al quale non appartiene alcun elemento di A distinto da a(come per esempio in N, Z, Q e non in R).

30)PUNTO DI FRONTIERA:

Un p.to a si dice di frontiera per l'ins. AcR se rispetto a tale ins. Non è né interno né esterno ovvero appartenga o meno ad A; ogni suo intorno contiene almeno un punto di A e un punto di RA

31)INSIEME APERTO:

Un ins. Si dice aperto se ogni suo p.to è p.to interno.

32)INSIEME CHIUSO:

Un ins. Si dice chiuso se il complementare è aperto.

33)INSIEMI SIA APERTI SIA CHIUSI :

Essi sono rispettivamente R e l'ins. Vuoto.

34)PUNTO DI ACCUMULAZIONE:

Un p.to a appart. a R è di accumulazione per l'ins. AcR se ogni suo intorno contiene almeno un p.to di A distinto da a.

Non si considera il centro dell'intorno per il calcolo dei limiti, mentre lo si considera per la studio della continuità.

Ogni p.to interno è anche di accumulazione.

35)INSIEME DERIVATO:

si chiama insieme derivato di un ins. AcR l'ins. Dei suoi p.ti di accumulazione e si indica con X'.

36)DEFINIZIONE DI SERIE:

data una successione di n° reali si dice serie di termine generale An la successione Sn definita nel seguente modo s°=0°, Sn=sn-l+an; questo è detta successione delle ridotte o successione delle somme parziali perché sommo fino ad un certo p.to;

Sn si dirà termine generale della ridotta ennesima.

37)SERIE ARMONICA:

Somme da 0 a + inf di 1/(n)^alpha

Se alpha<=1 serie divergente positivamente a + inf.

Se alpha >1 serie convergente

38)COMBINAZIONI SEMPLICI:

Dn,k /K != n(n-l) . . ..(n-k+1)/K!*(n-k)! =al binomio di Newton.

39)BINOMIO DI NEWTON:

(a+b)^n=somme con n da 0 a n di( n su k)a^k*b^n-k

40)COEFFICIENTE BINOMIALE DI NEWTON:

(n su 0)b^n+(n su 1)ab^n-l+(n su 2)a^2b^n-2 . . . .(n su n)^a^n

41)TRIANGOLO DI TARTAGLIA:

(a+b)^n=

n=0------------

n=1------- 1 1

n=2---- 2 1

42)COEFFICIENTE BINOMIALE:

(n su k)=n!/k!*(n-k)!=(n /0)= n!/n!

Per convenzione si pone 0!=1

43)LEGGE DI EVOLUZIONE O MODELLO RICORSIVO O SISTEMA DINAMICO DISCRETO:

1+2+2^2+ . . ..2^62= somme con k da 1 a 63 di 2^k=1-2^64/1-2=(2^64-l)= progressione geometrica quando il rapporto tra i ternimi consecutivi è sempre costante il rapporto prende il nome di ragione della progressione.

44)DEFINIZIONE DI FUNZIONE:

f(x)=y

Ovvero legame tramite la f che ad un punto preso sulle ascisse o dominio associa uno e un solo valore sulle ordinate o codominio.

Vi è dunque una relazione biunivoca .

45)CODOMINIO:

E' uguale all'insieme delle immagini;

46)INSIEME IMMAGINE:

E' analogo al codominio ma qui si considerano dei p.ti sulle scisse e si 'vedono' le immagini relative nel codominio.

47)GRAFICO DELLA FUNZIONE:

Si indica con il simbolo G(f).

48)FUNZIONE COSTANTE:

f(x)=c

E' suriettiva

49)FUNZIONE LINEARE:

f(x)=alpha x alpha=f(x)/x : così essa esprime un rapporto di proporzionalità diretta.

50)FUNZIONE IDENTITA' E SUA INVERSA:

f(x)=alpha x e f(x)= -alpha x

51)FUNZIONI LINEARI AFFINI:

f(x)=alpha x + q dove q indica la quota ovvero dove il G(f) interseca l'asse delle ordinate.

52)FUNZIONE ESPONENZIALE:

f(x)=x^2

53)FUNZIONE POTENZA:

f(x)=x^3 ovvero a^b, quindi o fisso a o fisso b.

Funzioni esponenziali e funzioni potenza sono assolutamente diverse.

54)FUNZIONE LOGARITMICA E SUA INVERSA:

f(x)=log x, mentre l'inversa è f(x)=e^x

55)FUNZIONE INVERSA:

Si indica con f^-l(da non confondere con la controimmagine che si indica allo stesso modo).

Se ho f(x)=x e devo trovare f^-l f^-l(y)=x f(x)=y

56)INIETTIVITA' E BIIETTIVITA':

Esse implicano l'esistenza della funzione inversa.

Se una funzione è iniettiva allora ammette la funzione inversa.

Se una funzione è iniettiva invertibile se questa funzione è continua può anche non esistere la funzione inversa e ciò dipende da come si 'comporta il dominio della f': generalmente si troveranno p.ti di discontinuità eliminabili.

57)PROPORZIONALITA' INVERSA:

f(x)=1/x xy=1 x=1/y: il prodotto x*y è costante.

58)FUNZIONE CRESCENTE:

Se f:X R , XcR per ogni x1,x2, appart.X, x1<x2 f(x1)<=f(x2)

59)FUNZIONE STRETTAMENTE CRESCENTE:

Se f:X R, XcR, per ogni x1,x2, appart.X, x1<x2 f(x1)<f(x2)

Si giunge a determinare se una f è crescente o strettam. Crescente grazie a f '(x) o al R. increm. E si calcolano max e min assoluti o relativi ovvero estremanti oppure p.ti stazionari cioè quesi p.ti dove f '(x)=0

60)IMPLICAZIONI:

Se una funzione è strett. Crescente è invertibile è iniettiva.

Il viceversa non vale.

61)CONTROIMMAGINE:

Si parte dal codominio e si legge sul dominio ovvero sulle scisse.

62)MASSIMI, MINIMI, P.TI DI MAX. E P.TI DI MIN. ASSOLUTI E RELATIVI:

Si ragiona su tutto il dom.(f) e calcolando la f '(x) si determinano.

Massimi, minimi, assoluti o relativi che siano si leggono sulle ordinate, mentre i p.ti di max, min, ass. o rel. Si leggono sulle ascisse.

63)SERIE GEOMETRICA:

Si definisce come: somme con n da 0 a + inf. di q^n

Se |q|<1 serie convergente e la somma si calcola come[(1/1-q)-(q)^..-(q)^--]*le eventuali costanti portate fuori dal segno di somme costanti.

Se q>=1 serie divergente positivamente a + inf.

Se q<=-l serie indeterminata

64)SERIE DI MENGOLI:

Si definisce come: somme con n da 1 a + inf. di 1/(n+1)=1/n *1/n+1=somme con n da 1 a + inf. di 1 - 1/n+1.

Se il limite per n +inf =1 serie convergente la cui somma è 1.

65)LEIBNITZ:

Si utilizza tale criterio per le serie a termini alterni e le condizioni da rispettare in ordina sono:

1)lim. per n +inf. =0

2)Bn deve essere una successione decrescente(allora devo dimostrare che Bn/Bn+1 >1)

Se il p.to 1 e 2 sono soddisfatti si afferma che la serie converge semplicemente.

3)lim pern +inf|Bn|=0(se ho verificate la 1 e la 2 e la 3 mi da 0 la serie converge semplicemente ed assolutamente, mentre se la 1 e la 2 sono verificate e la 3 no la serie converge semplicemente ma non assolutamente).

Generalmente il p.to 3 ci riconduce alla serie armonica generalizzata con alpha 01 dunque , verificate la 1 e la 2 la serie conv. Sempl. Ma non assolutam.

66)I CRITERI PER LO STUDIO DEL CARATTERE DI UNA SERIE:

Essi sono:

1)criterio del confronto asintotico(bisogna dire a cosa è asintotico tutta la serie e non solo un 'pezzo';

2)criterio del confronto: non è semplice da utilizzare in quanto richiede delle maggiorazioni o delle minorazioni che è sempre difficile generare ed inoltre attraverso le maggiorazioni o le minorazioni si possono perdere delle informazioni che possono risultare fondamentali per lo studio del carattere di una serie;

3)criterio della radice: ovvero srn(Bn)^n:

se ottengo un n° <1 serie convergente

se ottengo un n° >1 serie divergente a + inf

se ottengo un n° =0 serie indeterminata

4)criterio del rapporto: ovvero Bn+1/Bn

I risultati sono identici a quelli che si traggono dal criterio della radice.

Vi sono delle analogie per quanto riguarda i risultati a cui si giunge inerenti alla serie geometrica ed a quelli a cui si giunge utilizzando i criteri della radice e del rapporto.

5)si può anche , in alcuni rari casi, utilizzare direttamente la classifica degli infiniti relativa sia alle funzioni reali di variabile reale sia alle successioni, per determinare il carattere della serie.

67)CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA DI UNA SERIE:

Prima di procedere allo studio del carattere di una qualsiasi serie bisogna applicare la condizione necessaria di convergenza di una serie ovver calcolare il lim. per n +inf. Bn. Se da tale limite il risultato è 0 si può dire solo che la serie potrebbe convergere e nient'altro. Se il risultato è diverso da zero si può affermare che la serie non converge, ma ancora non si può dire niente sul carattere della stessa serie.

68)DEFINIZIONE DI FUNZIONE:

Corrispondenza f che ad un n° reale associa uno e un solo numero reale.

Sinteticamente può essere espressa come f(x)=y.

69)CODOMINIO:

y=f(x) y è l'immagine tramite la f di x: il codominio si legge sulle ordinate.

70)CONTROIMMAGINE:

x=f(y): la controimmagine si legge sull'asse delle ascisse stando attenti all'intervallo dato il quale si riferisce all'asse delle ordinate.

71)DEFINIZIONE DI LIMITE:

Il limite di f può:

1)esistere finito;

2)esistere infinito;

3)non esistere.

La definizione detta: f: X R XcR x° cX°, lim per x x° f(x)=L se per ogni intorno di L esiste un intorno di x° per ogni x appart. X inters.l'int. di x°, la f(x) appart. all'int. di L

72)DEFINIZIONE DI CONTINUITA':

f:AcR R è continua in x° p.to di accumulazione per A se per ogni eps.>0 esiste alpha>0: per ogni x appart. A |x-x°|<eps. si ha |f(x)-(fx°)|<eps.

Ovvero lim. per x x° f(x)=f(x°) f(x)-f(x°)=0 il quale ques'ultimo non è altro che il numeratore del R. incrementale.

In pratica una funzione è continua se il limite della funzione tendendo ad un p.to è uguale al valore che assume la funzione in quel determinato p.to.

In un p.to isolato la funzione è per definizione continua, in quanto il limite di una costante è la costante stessa.

73)FcC^°(X)

Ciò vuol dire che la f è continua su tutto il dominio

74)ESTREMANTI DI UNA FUNZIONE:

Con il termine estremanti ci si riferisce ai p.ti di min . e di ma. Non ai max. o min.

I p.ti di min. e di max. si leggono sulle ascisse.

75)FUNZIONE PARI O SIMMETRICA RISPETTO ALL'ASSE DELLE ORDINATE:

Si verifica con la formula seguente: f(x)=f(-x)

76)FUNZIONE DISPARI O ASIMMETRICA RISPETTO ALL'ASSE DELLE ORDINATE:

Si verifica con la seguente formula: -f(x)=f(-x)

77)IL PRODOTTO DI COMPOSIZIONE:

Esso è uno dei modi per creare nuove funzioni.

Il prodotto di composizione non gode della proprietà commutativa.

78)FUNZIONE COMPOSTA:

Ad esempio (gòf)(x): allora il dominio sarà in g e le immagini in f

Prima di apprestarsi al calcolo della funzione composta bisogna chiedersi se l'ins. Immagine di f è sottoinsieme del dominio di g ovvero se f(x)cg(se g è definita in Y) se f(x)cY

79)FUNZIONE CONVESSA:

Si ricava la convessità grazie allo studio della f''(x).

La definizione è: I R, IcR, per ogni x1,x2, per ogni t appart.[0,1] f(tx1+(1-t)x2<=t(f(x1)+(1-t)*f(x2).

Il dominio di una funzione convessa deve essere un intervallo.

80)FUNZIONE STRETTAMENTE CONVESSA:

Vale quanto detto per la funzione convessa, ma il verso non è >=, ma solo <

81)FUNZIONE CONCAVA:

Vale quanto detto per la f. convessa ma il verso è >=

82)FUNZIONE STRETTAMENTE CONCAVA:

Vale quanto detto per la f. strett. Conv. Ma il verso è solo >

83)R_=r ESTESO:

Ovvero R+[+/-inf]

+/- inf., nello studio dei limiti li si tratta come p.ti di accumulazione ma non ha senso parlare di raggio per +/- inf.

84)LIMITI:

Si può parlare di limiti da destra(+), da sinistra(-), per eccesso(+) o per difetto(-)

85)LIMITI:

L'unicità del limite è condizione necessaria per l'esistenza dello stesso.

L'esistenza del limite è condizione sufficiente per l'unicità dello stesso.

86)TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO:

Se il lim. f(x) esiste finito o infinito anche la f(x) ha lo stesso segno del limite.

Se il limite è positivo localmente anche la funzione sarà positiva(il viceversa non vale).

Questo teorema dunque non accetta corrispondenza biunivoca.

87)TEOREMA DI INTRAPPOLAMENTO O DEL CONFRONTO:

Esso è utile per studiare limiti di funzioni più semplici.

Si usa generalmente l'asintotico o gli sviluppi di Mc Laurin per determinare tra quali funzioni è intrappolata una funzione difficile di cui non so calcolarne il limite.

88)TEOREMA SULL'ALGEBRA DEI LIMITI:

Ci si riconduce sempre ad una forma di indecisione del tipo inf/inf o 0/0 che posso risolvere utilizzando i seguenti criteri:

asintotico;

teo. Intrappolamento;

Mc Laurin;

Regola dei coefficienti;

Scomposizione di f(x)

Limiti notevoli

89)L'ASINTOTICO:

Esso si utilizza se: lim per x x° f(x)/g(x)=1

90)'TRASCURABILE':

Esso si utilizza se: lim per x x° f(x)/g(x)=0

91)FUNZIONE INFINITESIMA:

Essa si ha quando lim per x x° f(x)=0

Dunque il limite di una funzione infinitesima vale o+/-

Una funzione infinitesima è una funzione che tende a zero quando ci si avvicina ad un p.to ma non che vale 0 nel p.to

Se voglio calcolare il limite di una funzione infinitesima posso ad esempio sviluppare Mc Laurin e vedere poi chi tende più velocemente a 0 ovvero i termini con esponente minore, dunque tutti gli altri sono trascurabili rispetto a quelli che tendono più velocemente.

92)FUNZIONE INFINITA:

Essa si ha quando il lim per x x° f(x)=+/- inf.

Si può risolvere una forma di indecisione del tipo inf./inf attraverso la regola dei coefficienti ed oosservare chi tende più velocemente a inf. ovvero chi ha l'esponente più grande, quindi tutto il resto è trascurabile.

93)LE VARIE FORME DI DISCONTINUITA':

Si hanno tre forme di discontinuità:

eliminabile: se lim per x x°+/- f(x)=L diverso da f(x°)

di prima specie , detta 'a salto': se esiste lim per x x°+/- f(x)=L1 e L2 ma diversi fra loro.

Di seconda specie: se lim da destra o da sinistra accade che: lim per x x°+/- f(x)= o non esiste o esiste infinito. Una funzione che presenta in x=0 una discontinuità di seconda specie è ad esempio f(x)=1/x

94)FcC^1(X)

Ciò vuol dire che la funzione è derivabile una volta, allora la funzione è continua anche la derivata prima è continua

95)FcC^2(X)

Ciò vuol dire che la funzione è derivabile 2 volte, allora è continua ed anche la derivata seconda è continua.

96)FcC^+inf(X)

Ciò vuol dire che la funzione è derivabile infinite volte(anche n volte)allora la f è continua ed anche la derivata ennesima sarà continua

97)ESTREMANTI IN R E IN R^2

Calcolo gli estremanti ovvero i p.ti di max. e min. re. O ass. in R tramite lo studio della derivata prima risolta come una semplice disequazione;

Se mi si richiede il calcolo dgli estremanti in un p.to allora utilizzo il rapporto incrementale e poi né calcolo il lim da sinistra e da destra.

Se mi trovo nello spazio R^2 allora devo utilizzare il teorema di Fermat per la ricerca degli estremanti in R^2 ovvero calcolo le derivate parziali rispetto a x e a y , poi le pongo a sistema e le uguaglio a zero, poi risolvo il sistema in due variabili e determino così due punti critici ; a questo punto calcolo fxx, fyy, fxy, fyx e costruisco la matrice H; calcolo il determinante come differenza tra il prodotto della diagonale principale e il prodotto della diagonale secondaria e determino cosi dei punti, se questi sono >0 allora ho dei minimi relativi; se trovo dei n° > 0 allora ho un p.to di sella, mentre se trovo un p.to uguale a zero allora non posso dire nulla.

Se mi viene richiesta invece la ricerca di punti stazionari, essi sono quei p.ti in cui f'(x)=0 dunque se mi trovo in R^2 devo interpretare i risultati in modo differente dunque se trovo un n° uguale a zero ciò vuol dire che ho infiniti p.ti stazionari.

98)PUNTO DI FLESSO A TANGENZA OBLIQUA:

Esso si ha quando f'(x) diverso da 0 e f''(x)=0

Se ho f'(x)=0 e f''(x)=0 allora posso dire che ho p.ti stazionari.

99)LE REGOLE DI DERIVAZIONE:

Esse sono principalmente 2:

reg. del prodotto: valido sia per f. elementari che per f. complesse

reg. del quoziente: ' ' ' ' ' ' ' '

100)PUNTO DI FLESSO A TANGENZA ORIZZONTALE:

Esso si ha se la f è definita su di un intervallo, inoltre è continua e derivabile e f'(x)=0: la derivata non deve cambiare segno in qualunque p.to dell'intervallo.

Un esempio può essere data dalla funzione f(x)=x^3

101)CALCOLO DELLA DERIVATA IN UN PUNTO:

Si utilizza il R. incrementale ovvero f(x)-f(x°)/x-x° ovvero il tasso medio di variazione il quale corrisponde con f'(x) ovvero il tasso istantaneo di variazione in almeno un punto.

Calcolato il R. incrementale calcolo il lim per x x°+/- dello stesso R. incrementale e posso ottenere:

L 1 e L 2 finiti ma diversi fra loro punto angoloso ed un esempio è dato dalla funzione f(x)=|x| in x=0

L 1 e L 2 finiti ed uguali tra loro la f è derivabile e la derivata è il p.to stesso;

+ inf. e + inf. ho un p.to di cuspide; un esempio è dato dalla funzione f(x)=|1/x|in x=0

0+ e 0- la derivata esiste ed è nulla: da notare che tutte le funzioni costanti sono derivabili con derivata nulla;

+inf. e -inf. ho un p.to di flesso a tangenza verticale e un esempio può essere dato dalla funzione src(sotto radice cubica)x^2 in x=0

102)TEOREMA SULLA DERIVABILITA':

f:R R si dice derivabile in un p.to x° appartenente al dominio di f se esiste finito il limite del rapporto incrementale f(x)-f(x°)/x-x°

Una funzione si dice derivabile in un intervallo I se lo è in ogni suo punto, dell'intervallo, s'intende.

103)FUNZIONI INFINITESIME:

Una funzione infinitesima è trascurabile rispetto alle costanti non nulle.

104)IL LIMITE DI UNA COSTANTE:

Il limite di una costante è uguale alla costante stessa

105)SCRITTURA FUORI DAL SEGNO DI LIMITE:

Scrivere un limite fuori dal segno di limite equivale a sviluppare mediante Mc Laurin una determinata funzione considerata.

106)INFINITESIMO E GRADO DELL'INFINITESIMO:

Per determinare infinitesimo e grado di infinitesimo si risolve: lim per x x° f(x)/|g(x)|^alpha.

Un altro metodo è quello di utilizzare gli sviluppi di Mc Laurin.

107)CLASSIFICA DEGLI INFINITI:

Essa vale sia per le funzioni reali di variabile reale sia per le successioni che non sono altro che un caso particolare di funzione .

In ordine tendono più velocemente ad infinito:

n^n

n!

e^n

n

log n

108)SUCCESSIONE GEOMETRICA:

La convenzione è sempre che 0^°=1.

Si indica con [q^n], ncN, qcR il lim per n +inf. [q^n]=

|q|<1 ottengo 0

q=1 ottengo una successione costante

q>1 ottengo + infinito

q= -l ottengo che la successione è limitata tra -l e 1

q<-l ottengo che il limite non esiste ed avrò delle oscillazioni amplificate

109)CONTINUITA':

Per quanto riguarda la continuità, dalla definizione di limite si ha solo il fatto che in questo caso si considera il centro dell'intorno ovvero il centro del p.to di accumulazione cosa che invec non avviene nella definizione di limite.

110)SUCCESSIONE COME FUNZIONE CONTINUA:

Una successione è una funzione continua perché il dominio è formato da tutti p.ti isolati essendo definita in N, in cui il limite n al p.to è uguale al valore che la funzione f(n) assume nel medesimo p.to.

111)FUNZIONE INVERSA:

Se ho una funzione diretta e continua non è detto che la sua funzione inversa f^-l sia anch'essa continua e ciò dipende dal dominio della stessa funzione diretta che invertita si legge sulle ordinate; se ho dunque un dominio del tipo (1, +inf) la funzione inversa in 1 presenterà un p.to di discontinuità di prima specie detto anche 'a salto'.

112)FUNZIONE INVERSA DEFINITA SU UN INTERVALLO:

Sono sicuro che otterrò una funzione inversa continua se la funzione diretta è continua e definita su di un intervallo: me rifaccio al teorema sulla continuità della funzione inversa: al massimo potrò avere una discontinuità eliminabile.

113)IL TEOREMA DI WEIELSTRASS:

Questo teorema afferma che se ho una funzione reale di variabile reale definita su un compatto di R o restrizione di R e la mia funzione è continua allora esiste il max. ed esiste il min. della funzione stessa.

Quindi se esiste max. e min. di f(x) la f(x) è sia sup. che inf. limitata.

114)TEOREMA SULL'ESISTENZA DEGLI ZERI PER FUNZIONI CONTINUE:

Questo teorema afferma se ho una f reale di variab. Reale definita su un compatto ed a valori in R ed essa è continua e f(a)*f(b)<0 allora esiste un punto c c(a,b,): f(c)=0

Il teorema si dimostra con il metodo della bisezione reiterata o ripetuta ovvero attraverso la dimostrazione che vi è una successione crescente(An/An+1>1) e una successione decrescente ovvero(An/An+1<1)

115)SERIE A TERMINI POSITIVI E REGOLARITA':

Le serie a termini definitivamente positivi sono le c.d. serie regolare ed un esempio può essere la serie armonica generalizzata ovvero somme con n da 0 a +inf. di 1/n^alpha, la quale o converge(se alpha >1) o diverge positivamente a + inf.(se alpha <=1)

116)DERIVATE DELLE FUNZIONI INVERSE:

Il procedimento è il seguente:

derivo la funzione diretta e la uguaglio al p.to di derivazione;

trovo la soluzione dell'equazione;

applico la formula: 1/f'(x°) dove f'(x°) lo ottengo sostituendo il risultato della equazione in x°: giungo così alla derivata della funzione inversa.

117)ELENCO DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI:

L'elenco si compone di:

a^x a^log base e di a

e^x e^x

x^alpha alpha x^alpha-l

log base e di x 1/x

sin x cos x

cos x -sin x

c

srq x 1/2srqx

tg x 1+(tg x)^2

118)ELENCO DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE:

L'elenco si compone di:

[f(x)]^alpha alpha[f(x)]^alpha -l * f '(x)

log[f(x)] 1/f(x) *f '(x)

cos [f(x)] -sin f(x)* f'(x)

e^[f(x)] e^f(x)*f'(x)

sin[ f(x)] cos f(x)* f'(x)

srq f(x) 1/2srq f(x)* f '(x)

N.B.: nella derivata composta f(x) vuol dire non tutta la funzione bensì solo 'l'argomento' della stessa.

119)ELENCO DEI LIMITI NOTEVOLI:

Esso si compone di:

lim per x 0 sin x/x=1

lim per x 0 1-cos x/x^2=1/2

lim per x 0 (a^x-l/x)=log base e di a

lim per x 0 e^x -l/x=1

lim per x 0(1+x)^alpha -l/x=alpha

lim per x [(1 +a/x)^x/a]^a=e^a

120)ELENCO DEGLI SVILUPPI PIU' IMPORTANTI TRAMITE MC LAURIN:

Esso si conpone di:

Sinx= x-x^3/3!+x^5/5! . . . .

Cos x= 1-x^2/2! . . .

E^x= 1+x+x^2/2! . .

Log 1+x= x-l/2x^2+1/3x^3-l/4x^4 . ..

N.B.: se ad esempio devo sviluppare sin x^2: moltiplico gli esponenti ma il fattoriale al denominatore resta sempre invariato; e ciò vale per qualsiasi sviluppo.

121)TEOREMA DELLA DERIVABILITA' DELLA FUNZIONE INVERSA:

f( a,b) R

f derivabile

f è invertibile(iniettività implica invertibilità)

x° appart.( a ,b)

tesi: f^-l è derivabile in y°=f(x°)

tesi: f^-l(y°)= 1/f'(x°)

122)DERIVABILITA' IMPLICA CONTINUITA':

Ciò vale in un intervallo.

Il viceversa non vale.

Un esempio può essere dato dalla funzione f(x)=|x| che è derivabile per x>0 e per x>0 è continua per x>0 e per x<0, ma non è derivabile in x=0 in quanto il limite del rapporto incrementale da sinistra e da destra non esiste finito o infinito, in quanto è 1 da destra e -l da sinistra la f non è derivabile in quanto la condizione necessaria di derivabilità in un punto è che i lim. del R. increm. Da sin. E da destra esistano e coincidano.

La derivata della f(x)=|x| è una funzione ovvero la funzione segno che vale 1 per x>0 e -l per x<0

123)TEOREMA DI LAGRANGE:

f:[a,b] R

f continua

f derivabile

ovvero le ipotesi del teorema di Rolle tranne l'ipotesi che f(a)=f(b)

Tesi di Lagrange: esiste c appart. (a , b): f(b)- f(a)/b-a = f '(c)

124)TEOREMA DI ROLLE:

f:[a,b] R

f continua

f derivabile su (a, b)

f(a)=f(b)

Tesi: esiste c appart. (a , b): f '( c)= 0 ovvero sia un p.to stazionario.

125)ASINTOTI:

Possono essere:

orizzontale: di equazione y= . .

Vertcicale : di equazione x= .

Obliquo: di equazione y=mx+q ovvero una funzione lineare affine dove calcolo m come lim per x +/- inf f(x)/x ed esso deve essere finito e non nullo; se così è allora calcolo q, ovvero il termine noto o il punto in cui il G(f) interseca l'asse delle ordinate. Calcolo q come lim per x +/- inf [f(x) - mx]

126)SERIE E COSTANTI:

Se sono di fronte a somme con k da 0 a + inf di qualcosa alla n allora tutto quel qualcosa non è altro che una costante da portare fuori del segno di serie o somme.

127)IL RAPPORTO INCREMENTALE:

Esso è il tasso di variazione medio della f(x).

Il rapporto incrementale è uguale a f'(x) il quale rappresentas il tasso di variazione istantaneo della f(x).

Quindi tasso di variaz. Medio e istantaneo sono uguali in almeno un p.to.

128)FUNZIONE DIFFERENZIABILE:

Una funzione si dice differenziabile in x° se presa f: X R, XcR e x°cX°, se esiste una costante mcR: esiste mcR: lim per x x° f(x)-f(x°)-m*(x-x°)/x-x° =0

Dove m*(x-x°) e il differenziale della funzione nel punto x°; il quale m*(x-x°) non è altro che una funzione lineare affine.

129)IL SIGNIFICATO GEOMETRICO DI DERIVABILITA':

Il Rapporto incremantale f(x)-f(x°)/x-x°= al coefficiente angolare della retta che è unica passante per i p.ti di coordinate (x°, f(x°)) e (x, f(x)); derivabilità , allora il lim. per x x° f(x)-f(x°)/x-x° deve esiste finito; la retta tangente al G(f) ha coordinate (x°, f(x°)), dunque l'equazione della retta che passa per quel punto è: y= f(x°) + f'(x°)*(x-x°).

130)DEFINIZIONE DI INTEGRALE SECONDO RIEMANN:

integrale secondo Riemann: è un integrale definito grazie al quale dunque si può applica re la regola o teorema Barrow.

Integrale secondo Riemann= integrale da a a b f(x) dx: applicando Barrow ottengo F(b)-F(a) valutati sugli estremi a e b.

Integrale secondo Riemann : se integrale da -a a b f(x)dx=integrale da a a -b f(x)dx se questi due numeri o partizioni inferiori e superiori di f su [ a , b] coincidono ho: ottengo integrale da a a b f(x) dx che è l'integrale definito secondo Riemann dove a e b sono rispettivamente gli estremi inferiori e superiori.

Una proprietà di tale integrale è la seguente:

integrale da a a b f(x) dx= - integrale da b a a f(x) dx

l'integrale secondo Riemann è definito su un intervallo chiuso e limitato [ a, b], e la f è limitata.

Si associano ad ogni partizione le somme superiori e quelle inferiori di f su [a, b] e si ottengono tutte le possibili partizioni P, ottenendo l'integrale inferiore e superiore di f su [ a , b] .

131)FUNZIONI SICURAMENTE INTEGRABILI:

Sono sicuramente integrabili le seguenti funzioni:

f. continue;;

f. monotòne;

f. limitate con un n° finito di discontinuità;

132)LE PRIMITIVE:

Esistono infinite primitive di f su [ a,b] e due qualsiasi differiscono per una costante additiva.

L'insieme di tutte le primitive di f è detto integrale indefinito di f e viene indicato con il simbolo integrale f(x)dx: in questi casi si può subito applicare ad esempio la regola Barrow, o se non subito appena dopo aver utilizzato qualche proprietà degli integrali quali ad esempio quella che detta che' la somma dell'integrale è uguale alle sommedie singoli integrali'.

La regola Barrow afferma che integrale da a a b f(x) dx = F(b)- F(a)= F(x) valutato tra gli estremi a e b dove F è una qualsiasi primitiva di f su [a, b]

133)INTEGRALI INDEFINITI:

integrale da a a b f(x) dx dove f è continua su [ a, b] si può effettuare trovando una f primitiva di F di f, calcolando i valori che F assume nei punti x=a e x=b e poi applicando la regola Barrow.

134)PROPRIETA' DEGLI INTEGRALI DEFINITI:

Se la funzione è integrabile secondo Riemann sull'intervallo[a,b] dove a<b si pone per convenzione:

integrale da a a a f(x)dx=0

integrale da a a b f(x) dx= - integrale da b a a f(x) dx

Tra le principali proprietà degli integrali definiti vi sono:

1)additività:

integrale da a a b f(x) dx= integrale da a a c f(x) dx + int. da c a b f(x)dx

2)valore assoluto:

int. da a a b |f(x)dx|<=int. da a a b |f(x)|dx

3)monotònia:

int. da a a b f(x) dx <= int. da a a b g(x) dx

135)INTEGRALI IMPROPRI O GENERALIZZATI:

Nel definire l'integrale di Riemann da a a b f(x)dx si chiede che l'intervallo si integrazione sia chiuso e limitato e la funzione integranda sia limitata su [a , b]; quando almeno una di queste condizioni viene a cadere, noi possiamo parlare di integrale improprio.

136)FUNZIONI INTEGRALI:

Data la funzione f, definita ed integrabile in un intorno del punto x=a vogliamo studiare la funzione integrale F(x)= integrale da a a x f(t)dt.

L'insieme di definizione di F è il più ampio intervallo contenente x=a in cui la f è integrabile e ovviamente si ha F(a)=0; grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale, la F risulta continua su questo intervallo e derivabile là dove f è continua, con F '(x)=f(x).

137)TEOREMA DI TORRICELLI-BARROW:

f:I [a,b] R

fcC^0([a,b]) la f è integrabile su [a,b]

poi F(x) = integrale da a a x f(t) dt F(x)= integrale f(t) dt +c

poi F(a)=c

F(x)= integrale da a a x f(t)dt + F(a)

F(b)= integrale da a a b f(t)dt + F(a)

integrale da a a b f(t)dt= [F(b)-F(a)]

138)CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA DI UN INTEGRALE:

[x°, + inf)

lim. per x +inf =0

139)TEOREMA DI FERMAT PER LA RICERCA DI ESTREMANTI IN R^2:

Ho precedentemente illustrato il procedimento attraverso le derivate parziali . . .

140)INTEGRAZIONE PER PARTI:

La formula è la seguente:

integrale f'(x)*g(x)dx=f(x)*g(x)- integrale f(x)*g'(x)dx

141)INTEGRALE PASSANTE PER UN PUNTO.

142)LA FUNZIONE SEGNO:

La funzione segno non è una funzione costante se è definito su un intervallo chiuso.

143)CONDIZIONE NECESSARIA DI SECONDO ORDINE PER LA RICERCA DI ESTREMANTI:

La utilizzo sempre per funzioni definite in R ed a valori in R ma è relativa alla f''(x).

Il teorema è il seguente:

f:X R,

XcR ,

x°cX°,

f derivabile 2 volte in x°,

f'(x°)=0,

x° è p.to stazionario tesi:

se f''(x°)>o p.to di min. rel. Stretto.

Se f''(x°)<0 p.to di max. rel. Stretto.

144)TEOREMA PER LA RICERCA DI ESTREMANTI CHE SOSTITUISCE IL TEO. DI FERMAT PER GLI ESTREMANTI INTERNI:

Il teo. È il seguente:

f:I R,

x° c(a, b),

f continua in x°

f derivabile per x diverso da x°

test:

x<x° la f'(x)>0 e se x>x° la f'(x°)<0 x° è p.to di max. rel. Stretto.

X<x° la f'(x°)<0 e x>x° la f'(x°)>0- x° è p.to di min. re. Stretto.

145)TEOREMA DI MC LAURIN:

f:X R

XcR

F derivabile n volte

Tesi:

f(x)=f(x°) +f'(x°)*(x-x°)+f''(x°)*(x-x°)/2!+f'''(x°)*(x-x°)/3!+ . . +f^n(x°)*(x-x°)^n/n!+ . . ..+ò((x-x°)^n), per x o

ò((x-x°)^n) si dice resto secondo Peano.