Test parametrici

Test parametrici

relazione sulle ipotesi statistiche e i test parametrici. 

Cenno teorico

Nei test vengono formulate ipotesi e viene verificato se i risultati campionari avvalorano o meno tali ipotesi. Quindi i test, di qualunque tipo siano, consistono nella verifica di un' ipotesi statistica, che è un assunto formulato sulla base di considerazioni teoriche o risultati sperimentali, relativamente ad un aspetto della popolazione statistica investigata. Il test non conduce però necessariamente a decisioni corrette, in quanto tutte le decisioni vengono prese su basi probabilistiche, tuttavia è possibile cercare di rendere minima la probabilità di compiere errori.

Nei test di ipotesi si confrontano due ipotesi possibili; quella principale è detta ipotesi nulla e viene indicata con H0, l'altra è detta ipotesi alternativa e viene sempre indicata con H1.

Il test permette la scelta di una delle due ipotesi sulla base dei risultati ottenuti dal campione.

Il metodo dei test parametrici si avvale di una tecnica analoga a quella della teoria della stima. Si tratta, in questo caso, di impiegare il valore di uno stimatore T, ottenuto da un campione per accettare oppure rifiutare l'ipotesi espressa sul parametro J della popolazione.

Esempio si consideri una generica popolazione; si può supporre che il valore del parametro J di questa popolazione sia J , ma poiché non è certo che tale affermazione sia vera, occorre sottoporla a test mediante un'indagine campionaria. Così si formulano due ipotesi contrapposte sul parametro J

- la prima ipotesi, l'ipotesi nulla H₀, afferma che il valore del parametro J su cui viene effettuato il

test valga J

H₀ : J J

-la seconda ipotesi, l'ipotesi alternativa H₁, afferma che il valore del parametro J su cui viene effettuato il  test è diverso da J

H₁ : J ¹ J

Quindi successivamente estratto un campione di dimensione n della popolazione, si determina il valore numerico t dello stimatore T del parametro J

Se l'ipotesi H₀ è vera, il valore t ottenuto dal campione è probabilmente simile a J , anche se non coincide esattamente, in quanto è stato ottenuto dalla variabile aleatoria T e dipende dal campione casuale estratto dalla popolazione. Se, viceversa, l'ipotesi H₀ è falsa è probabile che i valori t e J siano molto diversi tra di loro.

Si pone pertanto il problema di stabilire quanto può valere al massimo la differenza |t-J | affinché l'ipotesi H₀ possa essere ritenuta vera. Così si stabilisce un livello di significatività a a cui corrispondono due valori critici t_c^' e t_c^''dello stimatore utilizzato e si verifica se, in base al livello di significatività scelto, il valore dello stimatore ottenuto dal campione risulta o meno interno all'intervallo fiduciario.

t_c^' E(T)=J t_c^''

Se è così suddiviso l'intervallo di variabilità della variabile campionaria T in due parti dette, rispettivamente, regione di accettazione dell'ipotesi H₀ e regione critica dell'ipotesi H₀. Quindi si possono formulare le seguenti regole di decisione:

se il valore t ottenuto dall'indagine campionaria appartiene alla regione di accettazione, viene assunta come vera l'ipotesi H₀;

se t appartiene alla regione critica, l'ipotesi H₀ viene rifiutata e viene accettata l'ipotesi alternativa H₁.

Esistono vari tipi di test:

a due code (bilaterale)

t_c^' E(T)=J t_c^''

a coda di sinistra (unilaterale)

se H₀:J J ; H₁: J <J

t_c^' J

a coda di destra (unilaterale)

se H₀:J J ; H₁: J > J

J t_c^'

naturalmente negli ultimi 2 casi i valori critici delle variabili standardizzate che devono essere utilizzati per effettuare il test sono diversi rispetto a quelli utilizzati per il test a due code, in quanto l'area della coda che si trova nella regione critica è uguale a a e non a a

I test sono delle procedure statistiche che consentono di assumere decisioni su basi probabilistiche. Proprio per la loro natura probabilistica, le decisioni assunte sulla base dei test possono essere soggette ad errori. Gli errori che si possono commettere sono di due tipi:

Errore di prima specie quando H0 è vera, ma, sulla base delle osservazioni sperimentali, viene rifiutata.

Errore di seconda specie si compie si compie quando H0 non è vera, ma sulla base delle osservazioni sperimentali, viene accettata.