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elettronica |
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Effetto tunnel
L'effetto tunnel è un effetto quantistico che descrive la possibilità per una particella come un elettrone, di entrare in una zona classicamente proibita. Cioè una particella può attraversare una bariera di potenziale che separa due zone classicamente permesse.
Se consideriamo una funzione potenziale del tipo :
U(x)= U0 per 0<x<a
= 0 per x < 0 e per x > a
z
U0
0 a x
In meccanica classica per w<U0 la particella viene riflessa dalla bariera di potenziale , mentre in meccanica quantistica la probabilità di trasmissione
e di riflessione sono rispettivamente:
T=1/(1+U0 2 senh2 (2ka)/4w(U0 -w))
R=1/(1+4w(U0 -w)/U0 2 sinh2 (2kb))
con k=(2p/h)/(2m(w-U0)1/2
quindi in meccanica quantistica per w < U0 esiste una probabilità non nulla ( T>0) di trasmissone della particella.
L'effetto tunnel dagli elettroni fu osservato la prima volta sperimentalmente da Esaki nella giunzione p-n e in una giunzione metallo-ossido-metallo da Giaever, in questo secondo caso fu usato l'ossido per mantenere costante la distanza tra i due metalli a circa 100 Å eliminando il problema delle vibrazioni..
In seguito fu fatto un altro esperimento su una giunzione metallo-vuoto-metallo, per studiare la topografia di una superficie metallica, mediante uno strumento chiamato topografo, costiutoito da un tip guidato in scansione da un sisitema di attuatori piezzoelettrici, e mediante un sistema di retrazione che permette di mantenere costante la corrente tra tip e campione, il tip segua la topografia della superficie del campione.
In questo caso lo strumento proggettato da Yung nel 1971 avava una risoluzione verticale di 30 Å e una risoluzione laterale di "soli" 400 Å
La bassa risoluzione era dovuta principalmente alla presenza delle vibrazioni che non consentiva una separazione stabile tra tip e campione.
La combinazione di successo di tunneling nel vuoto fu dimostrata per primo da Binning nel 1981 che introdusse il primo scanning tunneling microscopy.
2. Microscopia a Scansione a effetto tunnel:STM
La tecnica STM è una tecnica di microscopia che si basa principalmente sull'effetto tunnel, e che permette di determinare con risoluzione atomica la struttura superficiale di conduttori e semiconduttori.
Una punta metallica (tip) con raggio di curvatura tipicamente dell'ordine di 100 Å viene avvicinata entro 5-l0 Å alla superficie del campione in esame.
5-l0Å
Mediante degli attuatori piezzoelettrici solodali al tip è possibile portare la punta in scansione entro un volume di alcuni m. Quando la distanza tra tip e campione e dell'ordine di 5-l0 Å , le funzioni d'onda elettroniche si sovrappongono in maniera significativa, dando origine a una corrente netta di elettroni ( I ), che passano dal tip al campione o viceversa, a seconda della polarità della differenza di potenziale applicato tra i due. I valori tipici per le correnti misurate sono di I= 0.1-l nA, con V = 0.1 - 1 Volt. Se applico tensioni positive al campione rispetto al tip gli elettroni passano, per effetto tunnel elastico, da stati pieni del tip a stati vuoti del campione, mentre per tensioni negative del campione rispetto al tip, gli elettroni passano da stati pieni del campione a stati vuoti del tip. Quindi dalla misura delle correnti di tunnel posso ricavare informazioni sugli stati superficiali pieni (e vuoti) del campione.
Per via del decadimento esponenziale delle funzioni d'onda elettroniche nel vuoto, la corrente di tunnel decresce esponenzialmente con la distanza tra il tip e il campione variando di un ordine di grandezza per variazioni della distanza di un Angstrom.
Per mantenere la distanza tip-campione fissa a un valore desiderato esiste un circuito elettronico di retroazione che agisce sull'attuatore piezzoelettrico responsabile della posizione verticale del tip.
In tal
modo, mantenendo in funzione l'anello di retrazione e guidando in scanzione il
tip sulla superficie del campione , si può memorizzare l'elongazione
dell'attuatore z, in funzione di x, y. 
E'
così possibile ricostruire la mappa topografica della superficie del
campione con sensibilità verticale (0.01 Å) e
laterale (1 Å)
tali da riuscire ad apprezzare variazioni su scala atomica.
Per riuscire a spiegare le mappe di superfici con caratteristiche strutturali su scala atomica ottenute con l' STM esistono diverse teorie.
La teoria di Tresoff e Hamann per quanto meno accurata di altri modelli teorici coglie in un semplice formalismo alcuni aspetti fondamentali del problema.
Indicando con r ys(r) un generico stato elettronico della superficie del campione, la corrente di tunnel misurata nel punto individuato dal raggio r si può scrivere come :
I(r) åS ys(r) 2 d(ES - EF ) º r(EF ,r) (2.1)
cioè, la corrente di tunnel è proporzionale alla densità degli stati elettronici della superficie del campione calcolata al livello di Fermi (EF).
In realtà questa espressine è vera se sono verificate le seguenti ipotesi:
corrente di tunnel piccola ( I 0.1 nA), cioè distanza tip campione 8-l0 Å, in modo da poter considerare inperturbate le funzioni d'onda del tip e della superficie;
tensione di polarizzazione tip campione piccola ( 0.01-0.1 Volt);
temperatura T= 0 °K.
Se consideriamo valida solo la prima ipotesi, l' espressione della corrente di tunnel diventa:
I=(4p 2 e / h)åS,T f(ET )[1-f( ES +eV)] MST d( ET - ES) (2.2)
dove gli indici S,T corrono sugli stati elettronici del superficie e del campione.
Le altre variabili che compaiono nell'espressione sono:
V che è la tensione applicata,
e che è la crica dell'elettrone,
f(E) che è la funzione di Fermi -Dirac,
la d di Dirac che esprime la conservazione dell'energia nell'effetto tunnel elastico;
MST che è l'elemento di matrice il cui modulo quadro esprime la probabilità di effetto tunnel dallo stato yS della superficie allo stato yT del tip, e che nel formalismo della hamiltoniana di Bardeen, si scrive come
MST = (h2 /8pm)ò dA (yS ÑyT yTÑyS (2.3)
dove l'integrale è calcolato su un piano A parallelo alla superficie posto ad una posizione z arbitraria tra tip e campione.
Dalla 2.2 e dalla 2.3 si può evidenziare la formidabile sensibilità verticale dell' STM, ovvero la dipendenza esponenziale della corrente di tunnel dalla distanza tip campione.
Supponiamo che le funzioni di lavoro del tip e del la superficie siano uguali a f, e detta s la distanza tra il tip e il campione, le funzioni d'onda possono essere scritte come :
s y[MF1]
x r
yS (r)= yS r)e-kz e yT (r)= yT r)e-k(s-z ) (2.4)
con r vettore normale alla componente z, ponendo k2 =2mf/h2 per entrambe gli elettrodi, sostituendo le espressioni 2.4 nella 2.2 e 2.3 si ha :
I(r) åS yS r yT r 2 e-2ks
In questa espressione è evidente la dipendenza esponenziale della corrente di tunnel dalla distanza tra il tip e il campione .
Sapendo che per un metallo o per un semiconduttore la funzione lavoro f=3-5 eV, e k=1Å-l si vede che per variazioni della distanza s tra tip e campione, la corrente di tunnel varia di un fattore e-2 dunque, di circa un ordine di grandezza.
3. Spettroscopia a scansione a effetto tunnel: STS
La tecnica STS si serve dello stesso apparato dell'STM ma permette, in linea di principio, di determinare la densità degli stati elettronici della superficie di un campione nell'intorno di qualche eV ( 4-5eV) rispetto al livello di Fermi con risoluzione laterale di 1Å
Mentre in modo STM si fissa la differenza di potenziale tra tip e campione, e mediante un anello di retroazione si mantiene costante il valore della corrente, per poter misurare la distanza tra tip e campione in funzione di x e y , in modo STS, fissati x,y cioè un punto sulla superficie del campione su cui si vogliono fare le misure, si apre l'anello di retroazione per fissare la distanza tra tip e campione, e si misura la corrente I in funzione della di V.
La curva I-V così ottenuta da informazioni sulla densità degli stati elettronici sulla superficie del campione nel punto x,y,z in cui è stato posizionato il tip di sonda .
Quello che si può dimostrare è che, in approssimazione di tunneling unidimensionale , la conduttanza normalizzata
g( V ) = d log I / d log V = (dI / dV) / (I / V)
che si può calcolare a partire dalla curva sperimentale I-V, cioè misurata sperimentalmente, può essere considerata una stima diretta della densità degli stati superficiali del campione rS(r,eV).
3.1 .Misure STS su Metallo
La relazione tra la corrente di tunneling e il voltaggio di bias per un metallo può essere semplificata trattando entrambe gli elettrodi con un modello a elettroni liberi .
Per tensione piccole tra tip e campione ( 1eV) la corrente di tunnel può essere scritta come:
I ò r S ( E.r) T(E,V,z)dE
dove T è un fattore di trasmissione, che può essere calcolato per un modello ad elettroni liberi di Wenzel-Kramer-Brillouin:
T(V)= aV+gV3 + ..
Se trascuriamo il termine cubico, si ha che:
dI/dV r S ( V.r) T(V).
Quindi da un grafico della conduttanza normalizzata nel limite di bassi voltaggi si possono ricavare informazioni sulla densita degli stati di superficie del campione.
3.2 Misure STS su semiconduttor
Per una data posizione ( r ) del tip sopra al campione la corrente di tunneli ( I ) è determinata dalla separazione tip-campione (z), dal voltaggio applicato ( V ), e dalla struttura elettronica del campione e del tip che è quantitativamente descritta dalla loro densità degli stati rS , rT
In questo caso però le tensioni di bias usate sono tipicamente dell' ordine di alcuni Volt, e non è possibile sviluppare in serie il fattore di trasmissione. Si può quindi far riferimento alla teoria di Wenzen-Kramers-Brillouin secondo la quale la corrente di tunneling può essere espressa come:
I = ò r S ( E.r) rT ( E.-eV,r) T(E,eV,r)dE (5.1)
dove T, in accordo con l'approssimazione di WKB si scrive:
T(E,eV)= exp[(-2z/h)(m (fS fT+eV-2E))1/2] (5.2)
dove m è la massa dell'elettrone, fS fT sono le funzioni di lavoro della superficie del campione e del tip rispettivamente. Se considero la derivata dell'equazione 5.1 rispetto alla tensione applicata V e divido ambo i membri per la grandezza I/V, ottengo la seguente espressione per la conduttanza normalizzata:
d log (I) / log (V)= [r S ( eV) rT ( 0) + A(V)] / B( V )
con A(V)= ò r S ( E ) rT E. eV ) dT(E,eV)) / (eT(eV,eV )dV]dE
B(V)=(1/eV) ò r S ( E ) rT E,=eV ) T(E,eV)) / T(eV,eV )] dE
Assumendo che A(V) e B(V) variano lentamente con il voltaggio, mentre la dipendenza veloce è limitata al primo termine del numeratore, è possibile attraverso una misura della conduttanza normalizzata g risalire alla densità degli stati del campione., anche se bisogna tener presente che eventuali strutture nella rT si manifestano negli spettri con un peso maggiore per gli stati con energia al di sotto dell'energia di Fermi, dove il fattore di trasmissione pesa maggiormente la densità degli stati del tip.
4. Curve I-V su metallo e semiconduttore
In .1 è riportata una curva I-V misurata su un campione di silicio leggermente drogato p: dal grafico si vede un andamento tipico di un diodo schottky per tensioni negative fino a -2 Volt, e questo non ci sorprende perchè il silicio utilizzato in questa misura è sicuramente ossidato, e quindi la punta per "sentire" la corrente di setpoint di 32.52 nA ha bucato lo strato di ossido, e quindi , si è formata una barriera schottky:
M S
Ev
EF
Ec
W
I
V
Il comportamento per tensioni negative dopo -4 Volt si può attribuire a qualche residuo di ossido rimasto sulla punta quando si è fatta la scansione per avere la mappa di corrente del semiconduttore.
Le .2-3-4 mostrano ancora curve I-V su punti diversi della superficie di un campione di silicio sul quale è stato fatto un attacco chimico con acido fluoridrico ( HF ), per circa 40 sec. Questo trattamento serve per rimuovere l'ossido che si forma sulla superficie del silicio quando è a contatto con l'aria.
Le curve in .2 e 3 mostrano una gap di 1.5 eV che è ragionevole per un campione di Si. L'unica differenza stà nella scelta della corrente di setpoint e della tensione di bias che si traduce in una distanza diversa tra il tip e il campione e in particolare, nella curva di .3 il tip era più vicino al campione.
Nella .4 abbiamo "allontanato" il tip dal campione e come si può vedere variano sia la gap che passa da 1.5 eV a 4 eV che la corrente di tunneling che scende di circa un ordine di grandezza.
Una cosa da dire è che queste curve sono state misurate in condizioni di tunnel molto stabile, cioè con una distanza tip -campione fissa.
Per quanto riguarda le curve I-V su metallo le . 5 - 6 si riferiscono a una misura fatta sullo stage dell' STM che è di acciaio. Dalle curve si può notare un andamentio tipicamente ommico: si può vedere come, in questo caso, le correnti misurate sono di diversi ordini di grandezza più grandi, con un setpoint di 1 nA, cioè con una distanza tip-campione di almeno 2Å maggiore rispetto al Si.
Anche in questo caso le curve sono relative a punti diversi presi sulla superficie del campione.
Da ultimo, .7, riportiamo una curva I-V su un campione di oro: come si può vedere l'andamento è tipicamente ommico ma con una resistività maggiore rispetto all' acciaio. Questo per sottolineare che nelle misure fatte in aria, oltre che alle impurezze che possono essere catturate dalla punta, si deve tener conto dell' umidità.
Questa misura, però, è stata fatta subito dopo la misura sul Si ossidato e quindi è molto probabile che sulla punta siano rimaste tracce di ossido: infatti si può notare un andamento simile tra le due curve per tensioni negative al di sotto di - 4 eV. Bisogna tuttavia ricordare che, per tensioni negative, gli elettroni passano per effetto tunnel elestico dagli stati pieni del campione agli stati vuoti del tip.
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