La Condizione di Monomodalità

La Condizione di Monomodalità

Le fibre multimodo sono caratterizzate dalla dispersione intermodale; è, allora, giocoforza cercare di liberarsi da tale fenomeno impedendo la proazione di più modi.
La condizione di monomodalità, ovvero la proazione nel nucleo di una sola lunghezza d'onda, non si può ricavare da una semplice analisi mediante l'ottica geometrica ma si deve ricorrere all'ottica elettromagnetica descritta mediante le equazioni di Maxwell. Partendo, allora, dalle equazioni di d'Alambert per le onde ed esprimendo il campo elettrico e magnetico attraverso il formalismo degli inviluppi complessi, si può esprimere tali equazioni nella forma di Helmoltz, valida per un mezzo dielettrico omogeneo, isotropo, privo di perdite. Indicando con n l'indice di rifrazione del mezzo e con k₀ = 2/₀ il numero d'onda dell'oscillazione in fibra, si può esprimere l'equazione di Helmoltz in coordinate cilindriche (, , z), ottenendo

che è valida sia nel nucleo, quando n = n₁ e 0 < a, sia nel mantello, quando n = n₂ e a.
Avendo adottato il formalismo degli inviluppi complessi, siamo interessati a soluzioni della forma

dove F() e () sono funzioni arbitrarie per valutare il campo radialmente e angolarmente su di una sezione, mentre exp(-jz) è la forma viaggiante dell'onda. Naturalmente, le soluzioni di tale forma devono soddisfare ulteriori requisiti fisici affinchè la soluzione abbia senso; in particolare, () deve risultare periodica di periodo 2. Sostituendo tale soluzione nell'equazione di Helmoltz, si ottengono due equazioni separate per () ed F(). L'equazione in () viene a dipendere da un parametro m, che dovrà essere intero per rispettare la condizione di periodicità, mentre l'equazione in F(), dipendente sia da che da m (oltrechè da k₀ ed n), si divide in ulteriori due equazioni. Quest'ultima suddivisione deriva dal fatto che, affinchè l'onda resti confinata nel nucleo, la costante deve essere minore di n₁k₀ (numero d'onda nel nucleo) e maggiore di n₂k₀ (numero d'onda nel mantello). Ciò porta a definire, per comodità, le due quantità

nel nucleo e  nel mantello,

da cui si può scrivere

Tali equazioni ammettono, come soluzione generale, diversi tipi di funzioni, dette di Bessel. Scartando dalla soluzione generale le funzioni non limitate e le funzioni non limitate quando tende all'infinito, si ottiene una soluzione della forma

che dipende dalle funzioni di Bessel di prima specie (J_m) e dalle funzioni di Bessel modificate di seconda specie (K_m). Un esempio dell'andamento di J_m e K_m, per m = 0,1,2, è mostrato di seguito.

. 1.1 - Andamento delle Funzioni di Bessel di prima specie, e modificate di seconda specie, per gli ordini 0, 1 e 2.

Dalla forma trovata per la soluzione, esprimendo le componenti radiali e tangenziali di in funzione della componente assiale ed imponendo la condizione di continuità per = a, si ottiene un sistema di equazioni equivalente ad un unica equazione detta equazione caratteristica .
Da questa equazione, fissato m (ordine dell'armonica elementare), si ottengono più soluzioni in funzione di , una volta fissati n₁ e n₂ per la fibra considerata e k₀ per il segnale ottico. Ciascuna soluzione è detta modo di proazione e viene contraddistinta mediante la costante _mi, dove m è quello fissato per l'armonica mentre i è l'ordine della soluzione stessa.
Per ottenere la condizione di monomodalità introduciamo un nuovo parametro, il parametro V (o frequenza normalizzata) costante

dipendente dalle caratteristiche geometriche della fibra e da ₀. Scrivendo in funzione di V, si ricava che, all'aumentare di k (ovvero al diminuire di ), il decresce, per cui l'onda non rimane più confinata nel nucleo ma si disperde nel mantello. Questo significa che un modo non si proa quando V = k*a ( = 0, condizione di cut-off). Il minimo valore di V per cui si ha proazione monomodale è V = 2.405 (primo nullo di J_m(k*a) per m = 0). Per ottenere una fibra monomodale è, quindi, necessario ridurre V ad un valore inferiore a 2.4 e ciò può essere fatto sia riducendo la sezione del nucleo (a), sia riducendo NA. Il nucleo di piccolo diametro crea però difficoltà di accoppiamento della fibra alle sorgenti ottiche e ai fotorivelatori e rende problematiche eventuali giunzioni durante la posa.