Tecniche avanzate - Sistemi ingresso-uscita, Reti di ordine 1 con resistori lineari a tratti e sorgenti costanti, Risposta di reti dinamiche lineari e

Tecniche avanzate

Sistemi ingresso-uscita

x = x_t + x_f

x = x_zi + x_zs

Si definisce risposta di una particolare uscita a stato zero come y_zs con un ingresso s e si ricava con , in cui h(t) è una particolare funzione dipendente dal circuito e s rappresenta le sorgenti impulsive in t₀. Nel caso in cui s(q) = d(q), allora y_zs = h(t). Si dice allora che h(t) è la risposta a stato zero all'impulso o risposta all'impulso. Tutto questo vale anche per più ingressi.

DIM:

Per una rete di ordine n si ha

allora

in cui D è uno scalare, C è un vettore riga e B è un vettore colonna.

Si ricordi ora la definizione di prodotto di convoluzione

h(t) è casuale, ma esiste dopo l'impulso.

h(t) = 0 per t < 0

s(t) = 0 per t < t₀

, ma per definizione di s(q si ha

, osservando che h(t - q) = 0 per (t - q) < 0 e quindi per t < 0

Per un sistema lineare tempo invariante si afferma che, dati un ingresso s e un circuito a cui è associata una funzione di risposta all'impulso h, la risposta a stato zero è y = h * s.

Si ricordano le proprietà del prodotto di convoluzione:

- Commutatività : (f * g) = (g * f);

- Associatività : (f * g) * h = f * (g * h);

- Derivazione : ;

d(t) è l'unità del prodotto di convoluzione.

Reti di ordine 1 con resistori lineari a tratti e sorgenti costanti

La soluzione di questi problemi si articola in diversi punti:

1) Si valuta prima x(0) e si risolve una rete lineare a tratti;

2) Si valuta la caratteristica lineare a tratti osservata dal condensatore o dall'induttore;

3) Si torva la traiettoria di v_c o di i_l sulla caratteristica lineare a tratti. Ciò si può fare esclusivamente se si ha un punto iniziale;

4) Si ottiene la soluzione come sequenza di transitori lineari.

Risposta di reti dinamiche lineari e tempo invarianti mediante la trasformazione di Laplace

Data una generica f(t), si definisce la sua trasformata di Laplace unilatera come , in cui s I C ed è la frequenza definita da s = s + jw dove w è la pulsazione. F(s) = L è biunivoca. Si dice che f(t) lavora nel dominio del tempo, mentre F(s) lavora nel dominio della frequenza complessa.

Caso particolare .

La trasformata di Laplace è preferibile a quella di Fourier in quanto esiste per una classe più ampia di funzioni ed ha proprietà migliori dal punto di vista algebrico.

Le proprietà della trasformata di Laplace sono:

1) Unicità;

2) Linearità : L = aF(s) + bG(s);

3) Traslazione nel tempo : L = f(s)e^-st0;

4) Traslazione nella frequenza : L = F(s - l

5) Derivazione : L

6) Integrazione : L

7) Convoluzione L = F(s)G(s);

8) Rende algebrici i sistemi di equazioni differenziali:   L . Antitrasformando X(s) ottengo x(t).

La trasformata di Laplace si trova quasi sempre in tabella, mentre l'antitrasformata di Laplace si può fare solo con la tabella:

Antitrasformata di Laplace

Si consideri , una funzione razionale in s a coefficienti reali. Si utilizzi la decomposizione in fratti semplici. E' necessario fare in modo che m < n, altrimenti si effettua prima una divisione, ottenendo  in cui . Si ha che:

a₀ a₀d(t);

a₁s a₁d'(t);

a_ks^k a_kd^(k)(t).

Nel caso di radici di Q, o meglio poli di F, distinti si ha , in cui h_a è il resisduo di F definito da

, in cui  e

Dato l'ingresso a stato zero individuo la risposta come Y_zs = H(s)S in cui H(s) è una funzione a coefficienti reali. L'insieme delle H(s) è l'insieme delle funzioni di trasferimento. Queste si dicono anche funzioni di rete.

, tutte le funzioni di rete hanno denominatore conume e sono uguali. I poli di queste sono e . I due insiemi di poli, in funzione del tempo e della frequenza naturale, coincidono.

Una rete si dice esponenzialmente stabile se e solo se Re < 0 a o Re < 0 a

Y(s) = H(s)S(s), antitrasformando secondo Laplace si ottiene y(t) = h(s) * s(s) in cui h(s) è la risposta all'impulso. Antitrasformando H si può ottenere: [H]

1) Adimensionata;

2) V/A, si chiama impedenza e si indica con Z(s);

3) A/V, si chiama ammettenza e si indica con Y(s).

Si ha così che le H possono esprimere le caratteristiche degli elementi circuitali, ad esempio:

- Resistore lineare: v = Ri L V = RI in cui Z_R = R e Y_R = 1 / R = G;

- Condensatore: i = C(dv / dt) L I = sCV - Cv(0) in cui Y_C = sC e Z_C = (1 / s)C;

- Induttore: V = sLI e Z_L = sL.

Da questo è immediato notare che le caratteristiche in s dei multipoli lineari tempo invarianti sono algebriche, e dato che continuano a valere le leggi di Kirchhoff per le tensioni e le correnti, nonchè il teorema di Tellegen, si applicano le tecniche di risoluzione per reti resistive note, secondo il procedimento:

1) Trasformazione secondo Laplace di generatori di tensione e di corrente;

2) Sostituzione dei dispositivi della rete con le loro caratteristiche in funzione di ammettenza o impedenza;

3) Ottenuta la rete trasformata si applica uno dei metodi noti;

4) Si antitrasforma secondo Laplace la soluzione ottenuta tornando nel dominio del tempo.

Esempi del punto 3

- Serie di impedenze Z₁ e Z₂ Þ Z₁ + Z₂;

- Partitore di corrente date due ammettenze in parallelo Y₁ e Y₂ Þ ;

- Le trasformazioni stella-triangolo rimangono immutate;

- Continua a valere il teorema di Millman Þ ;

- Si possono ancora applicare gli equivalenti Thevenin e Norton in cui:

R_eq Z_eq;

G_eq Y_eq;

R Z;

G Y;

- E' sempre valida la sovrapposizione degli effetti Y = Y⁽¹⁾ + + Y^(k);

- Metodo dei nodi e del tableau rimangono: G_n Y_n.