Cinematica
La cinematica ha per oggetto le proprietà geometriche del movimento; comprende
pertanto la cinematica del punto e la cinematica dei sistemi rigidi. D'Alembert riconobbe l'importanza di
questa parte della meccanica come scienza distinta, e
Ampère per primo mostrò la necessità di formulare una
teoria geometrica a fondamento della dinamica. La descrizione del movimento di un
punto o di un sistema avviene individuandone la posizione in ogni istante,
cioè determinando il modo di variare nel tempo della sua conurazione
nello spazio. A questo scopo è necessario innanzi tutto assegnare un ente di riferimento rispetto al quale descrivere il moto:
anzi il concetto stesso di moto o di quiete richiede che si stabilisca
l'oggetto rispetto al quale il corpo considerato risulta in moto o in quiete.
Nella cinematica classica viene assegnato solo il sistema di riferimento
spaziale rispetto al quale è descritto il moto, mentre il tempo è
assunto come un parametro universale, indipendente dal sistema di riferimento
spaziale; la cinematica relativistica ha superato questa impostazione e ha
stabilito un nuovo significato della variabile tempo, che risulta strettamente
legata alla posizione nello spazio, attraverso una mutata definizione operativa
dei concetti di simultaneità, futuro, passato. Le leggi formulate dalla
cinematica classica e relativistica devono quindi soddisfare esigenze diverse,
poiché dipendono da concezioni diverse del sistema di riferimento: nel
caso classico, si richiede che esse abbiano la stessa formulazione quando siano
espresse in sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, ma per i quali
il tempo è lo stesso. Per le proprietà di
invarianza richieste dalla teoria relativistica.
Cinematica del punto
Tutte le
volte che le dimensioni del
mobile sono praticamente trascurabili rispetto a quelle della regione entro cui
si svolge il movimento, conviene trattare il corpo stesso come un punto. Questa
parte della cinematica studia quindi il caso ideale di un punto mobile e si
propone di determinare la funzione P = P(t) che individua la posizione del punto
P in ogni istante di tempo t,
rispetto a un sistema di riferimento assegnato (per la formulazione analitica
della teoria, si usano quasi sempre sistemi di riferimento sectiunesiani, oppure
coordinate polari o cilindriche). Il luogo delle
posizioni occupate dal punto nello svolgersi del tempo è la traiettoria, che può essere o rettilinea o curvilinea;
nel caso particolare in cui sia contenuta in un piano, il moto si dice piano. Per caratterizzare il moto
è necessario anche descrivere il modo in cui la traiettoria è
percorsa durante il tempo: se s è
la lunghezza del tratto di traiettoria
percorso, interessa la sua dipendenza dal tempo, espressa dalla funzione s = s(t) (equazione del movimento sulla
traiettoria o equazione oraria).
Quando lo spazio percorso non cresce in modo costante nel tempo, occorre anche
precisare la legge della sua variazione: si introduce
così il concetto di velocità;
quest'ultima è una grandezza vettoriale definita dalla relazione
essendo P = P(t)
l'equazione del moto del punto P. Poiché anche la velocità
può variare nel tempo, si introduce l'accelerazione
che serve a caratterizzare ulteriormente il moto. Tanto
la velocità quanto l'accelerazione sono direttamente connesse a
proprietà geometriche della traiettoria: la velocità è
sempre un vettore tangente a quest'ultima, mentre l'accelerazione ha una
componente tangenziale (che si annulla per tutti i moti uniformi, cioè
con velocità di modulo costante, qualunque sia la forma della
traiettoria descritta) e una componente lungo la normale principale (detta accelerazione
centripeta), la cui grandezza è legata al raggio di curvatura della
traiettoria. Le leggi P = P(t), v= v(t),
a = a(t) caratterizzano i
diversi tipi di moto: moto rettilineo, rettilineo uniforme, uniformemente
accelerato, centrale, armonico, ecc. In particolare, la cinematica ha potuto
studiare completamente il caso del moto dei gravi (moto naturalmente accelerato, con un'accelerazione costante, che
è l'accelerazione di gravità) e i moti centrali, classe in cui
rientrano i moti dei pianeti, le cui proprietà sono state definite dalle
leggi di Keplero. Infatti, la descrizione delle caratteristiche della traiettoria non richiede l'intervento esplicito di
alcuna ipotesi sulla natura della forza che determina il moto (il cui esame
rientra piuttosto nella teoria della gravitazione, appartenente alla dinamica).
Composizione di movimenti
Molto spesso accade di dover considerare
un mobile soggetto a più movimenti contemporaneamente (moti componenti); il moto risultante del mobile è in ogni istante
determinato dalla composizione degli spostamenti che - fino a quello stesso
istante - il mobile avrebbe subito per azione di ciascuno dei moti componenti.
Tale proprietà (principio della
composizione dei movimenti, determinato sperimentalmente da Galileo) ha una
chiara rappresentazione grafica nella somma vettoriale degli spostamenti: nel
caso ad esempio di due moti componenti, se s1(t) e s2(t) sono gli spostamenti che il punto P
subirebbe nel tempo t a partire dalla
posizione iniziale Po sotto l'azione dei due singoli moti, allora per effetto
del moto risultante il suo spostamento è s(t) = s1(t)
+ s2(t). Inoltre nella cinematica classica la velocità del
moto risultante è anch'essa la somma vettoriale delle velocità
dei moti componenti.
Cinematica dei sistemi rigidi
Un sistema rigido è per definizione un insieme di punti
materiali tale che la distanza tra due suoi punti qualunque, considerati
macroscopicamente, si mantiene costante comunque si muova il sistema. I corpi solidi possono ritenersi rigidi in prima approssimazione,
fino a che non si debba tenere conto delle deformazioni che essi subiscono se
sollecitati da pressioni e trazioni. Per caratterizzare il moto di un
sistema rigido occorre in genere individuare sia la posizione di un suo punto
rispetto a un sistema fisso sia la posizione di ogni altro punto rispetto a
quello: a questo scopo si assegna anche un sistema di riferimento (in genere,
assi sectiunesiani ortogonali) che si muova solidalmente con il sistema, e
rispetto al quale è individuata la posizione di ogni punto del sistema.
Casi particolarmente interessanti dei moti dei sistemi rigidi sono il moto traslatorio
(in cui il segmento che congiunge due punti qualunque si sposta mantenendosi
parallelo a se stesso) e il moto rotatorio
assiale, in cui rimangono fissi tutti i punti di una retta (asse di
rotazione), mentre ogni altro punto descrive una traiettoria circolare in un
piano normale all'asse. Anche per i sistemi rigidi si può estendere la
composizione dei movimenti: nel moto
composto, o risultante, ogni
punto del
sistema ha in ogni istante dell'intervallo di tempo considerato la
velocità risultante dalla composizione vettoriale delle velocità
che a esso competono - nello stesso istante - per ciascuno dei moti componenti.
La cinematica dei sistemi ha permesso di stabilire che il
più generale moto rigido può essere espresso in ogni istante come
composizione di un moto traslatorio e un moto rotatorio attorno a un asse
istantaneo di rototraslazione (moto
istantaneo di rototraslazione, o atto
di moto rototraslatorio).
In particolare
interessano i moti rigidi piani: sono
tali i moti rigidi in cui ogni punto descrive una traiettoria piana; si possono
perciò studiare come moti di una ura piana (che può essere per
esempio una sezione del corpo) su un piano assegnato.
Anche per essi il caso più generale è
una composizione di un moto rotatorio e uno traslatorio: esiste sempre un punto
che è polo o centro istantaneo di rotazione (e corrisponde
all'intersezione con il piano considerato dell'asse istantaneo di rotazione
introdotto nel caso generale). Consideriamo particolarmente il caso di una pura
rotazione istantanea (nella traslazione, tutte le traiettorie dei punti del
sistema sono parallele); poiché il punto che è centro istantaneo di
rotazione varia all'interno del sistema (cioè in tempi diversi punti
diversi sono poli istantanei) e d'altra parte esso si sposta sul piano fisso,
interessa considerare due traiettorie polari: il luogo delle posizioni assunte
dal polo C sul piano fisso (curva polare
fissa o base) e il luogo dei
punti del piano del sistema mobile che in ogni istante sono centro di rotazione
(curva polare mobile o rulletta). Una delle proprietà
fondamentali del
moto rigido piano si esprime dicendo che la rulletta rotola senza strisciare
sulla base: le due curve sono tangenti in ogni istante di tempo. Tra i moti
rigidi piani, interessano particolarmente i moti
cicloidali, in cui entrambe le traiettorie polari sono circolari; la
circonferenza mobile può essere o esterna alla circonferenza base,
oppure interna: si hanno così rispettivamente i
casi in cui la traiettoria descritta da ogni punto è un'epicicloide oppure un'ipocicloide. Se invece la curva base
è una retta, la traiettoria descritta è una cicloide(caso di una ruota che rotoli
sul terreno).
Infine, altro
caso interessante è quello di un sistema rigido
che abbia un punto fisso: in ogni istante il sistema ruota attorno a un asse di
rotazione istantanea che è necessariamente una retta passante per il
punto fisso. Il luogo delle posizioni occupate nello
spazio fisso dall'asse di rotazione è detto cono polare fisso, o cono
erpoloide, mentre il luogo delle rette del sistema mobile che divengono
successivamente assi di rotazione è detto cono polare mobile, o cono
della poloide. Questi due coni (coni
di Poinsot) permettono di caratterizzare il moto
di ogni sistema rigido avente un punto fisso come equivalente al rotolamento del cono mobile sul cono
fisso. Per lo studio di questo tipo di moto sono utili parametri opportuni, per
individuare le posizioni del sistema: si introducono a
questo scopo gli angoli di
Eulero
Moto relativo
Accade spesso di dover
considerare il moto di un punto o di un sistema quale appare a un osservatore
che sia esso stesso in moto: oltre al sistema di riferimento fisso (ad es. una
terna di assi sectiunesiani Oxyz)
introduciamo allora anche un sistema di riferimento mobile (ad es. la terna
). Un punto P è caratterizzato dalle
coordinate x, y, z e ,
, nei due sistemi e le sue equazioni del moto sono quindi x = x(t), y
= y(t), z = z(t)
e = (t),
= (t),
= (t)
rispettivamente nei due riferimenti. La velocità rispetto al sistema
fisso (velocità assoluta)
risulta va= vr + vtdove vr è
la velocità rispetto al sistema mobile (velocità relativa) e vt
la velocità di trascinamento,
cioè quella che il punto P avrebbe se, essendo in quiete nel sistema
mobile, si muovesse solidalmente con questo: coincide quindi con la
velocità del sistema mobile rispetto a quello fisso. Tra le
accelerazioni nei due sistemi vale la relazione espressa dal teorema di
Coriolis: aa = ar + at + ac, dove aa e ar sono le
accelerazioni rispetto al sistema fisso
(accelerazione assoluta) e a quello in moto (accelerazione relativa); at accelerazione
di trascinamento) è l'accelerazione che il punto avrebbe se fosse
rigidamente solidale con il sistema mobile e venisse trascinato da questo nel
suo moto (non è quindi altro che l'accelerazione assoluta del
riferimento mobile). Infine ac è
l'accelerazione complementare o di Coriolis, nulla in particolare quando
il punto è in quiete rispetto al sistema mobile
(vr = 0) o quando il moto del riferimento mobile
è di pura traslazione. In modo analogo al caso del moto relativo
di un solo punto, si può descrivere anche quello di un insieme di punti
e in particolare di un sistema rigido: il moto assoluto di esso si ottiene
componendo, in ogni istante, il suo moto relativo con quello di trascinamento.
È importante infine osservare che se il riferimento mobile si muove di
moto rettilineo uniforme rispetto a quello fisso ed è quindi costante la
velocità di trascinamento vt risulta
allora at = 0 e ac = 0; il teorema di Coriolis si riduce perciò
semplicemente alla relazione aa = ar:
l'accelerazione di un punto è cioè la stessa rispetto a
osservatori in moto di traslazione con velocità uniforme l'uno rispetto
all'altro (principio di relatività
galileiana). Nella cinematica classica questa proprietà si deduce
sotto l'ipotesi che il tempo sia un parametro universale,
comune a tutti i sistemi di riferimento.
Accelerazione
Considerato un
punto materiale che si muove di moto rettilineo uniformemente vario, nel quale
cioè la velocità si modifica per una stessa quantità in
tempi uguali, l'accelerazione è la
variazione subita dalla velocità nell'unità di tempo. Sia v0 la velocità all'istante t0, v la velocità all'istante t, indicando con a
l'accelerazione, si ha:
a = vv0/tt0 .
Secondo che a sia positiva o
negativa, il moto si dice uniformemente accelerato o uniformemente
ritardato. Se il punto materiale si muove con moto rettilineo arbitrario -
indicando con v la variazione
subita dalla velocità nell'intervallo di tempo t a partire dall'istante t - il rapporto v/t rappresenterà l'accelerazione
media nell'intervallo di tempo t:
se t tende a zero, v/t tende a dv/dt che si
assumerà come accelerazione del
mobile all'istante t. In un moto rettilineo,
quindi, l'accelerazione si definisce come la derivata della velocità
rispetto al tempo, ed essendo v = dx/dt risulta:
at = d2x/dt²
.
Nel caso più generale,
l'accelerazione sarà data da una quantità vettoriale le cui
componenti lungo gli assi di un riferimento sectiunesiano
ortogonale valgono:
d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt².
Se un corpo si muove di moto relativo, la sua velocità assoluta
è la somma geometrica, o risultante, della velocità relativa e
della velocità di trascinamento; questa regola non vale per
l'accelerazione assoluta, che risulta invece dalla somma geometrica di tre accelerazioni:
1. l'accelerazione nel movimento relativo; 2. l'accelerazione nel moto di
trascinamento; 3. l'accelerazione complementare
detta anche accelerazione centrifuga
composta o di Coriolis. Questa
terza accelerazione è quella che, nel moto di caduta dei gravi sulla terra, giustifica la lieve loro deviazione verso
oriente dovuta alla rotazione terrestre. L'unità di accelerazione nel
sistema MKSA e nel SI (sistema internazionale di unità di misura)
è il metro al secondo per secondo (m/s²), nel sistema CGS è
il centimetro al secondo per secondo (cm/s²); quest'ultima prende il nome
di gal, ed
è cento volte più piccola della prima.
