MISURA DI RESISTENZE CON IL METODO DEL PONTE DI WHEATSTONE

Misura di resistenze con il metodo del ponte di Wheatstone

MISURA DI RESISTENZE CON IL METODO DEL PONTE DI WHEATSTONE

OBIETTIVO :

Scopo dell'esperienza è verificare il valore incognito di resistenza con il ponte di Wheatstone mediante il metodo classico, quello  della doppia pesata e quello del confronto.

STRUMENTI :

N° 1 Multimetro digitale;

N° 2 Resistenze da 200 W con tolleranza del 1%;

N° 1 Resistenza da 20 W con tolleranza del 1%;

N° 1 Resistenza da 100 W con tolleranza del 1%;

N° 2 Resistenze di valore incognito (R_x1 = 120 W ed R_x1 = 18  kW con tolleranza per entrambe del 5%);

N° 1 Cassetta di resistenza variabile fra 0.1 W e 9999 W

INTRODUZIONE TEORICA :

Il metodo del ponte di Wheatstone si basa sulla costruzione di un particolare circuito nel quale sono inserite quattro resistenze di cui tre di valore noto (di cui una almeno a valore variabile) ed una di valore incognito.

Le resistenze e la topologia del circuito sono rappresentati nel circuito appena riportato in cui R R , R₂ sono le resistenze di valore noto, mentre R_X è la resistenza di valore incognito.

Si dice che il ponte è bilanciato quando nel ramo BD la corrente è pressoché nulla e tale condizione si verifica quando le resistenze sona tali che:

Da questa semplice espressione è possibile ricavare il valore di una resistenza incognita noto quello delle altre tre.

PROCEDIMENTO :

Con l'obiettivo di individuare il valore della resistenza incognita R_X abbiamo adoperato tre metodi:

Metodo classico;

Metodo della doppia pesata;

Metodo del confronto.

Nel metodo classico, il circuito che abbiamo realizzato è il seguente:

Variando opportunamente le resistenze R₀, R₁, R₂  cerchiamo di ottenere la condizione di ponte bilanciato ovvero quando la corrente che scorre nel galvanometro è nulla, ovvero ovvero .

In tali condizioni:

E quindi otteniamo:

Pertanto è utile, fissando il rapporto , variare R₀ per ricercare la condizione di bilanciamento del ponte. La scelta del valore di è determinata dal valore della resistenza incognita , dall'intervallo di variabilità di e dalla sensibilità che si vuole ottenere nella misura. Per analizzare la proazione degli errori può essere utile trasformare la relazione:

Calcolando i logaritmi di entrambi i membri.

E passando al calcolo dell'errore relativo otteniamo:

Pertanto la migliore stima dell'errore relativo su R_X risulta essere:

Ove con si intende l'errore sul bilanciamento del ponte che dipende dalla sensibilità del tester.

Per stimare l'errore è necessario considerare le equazioni di Kirchoff del circuito quando il sistema è sbilanciato:

per il nodo B

per il nodo A

per la maglia AHKC

per la maglia ABD

per la maglia BCD

Otteniamo:

Ove A è:

Risulta che è massima quando A è minima ovvero se:

R_G= 0  e R_ε=0

Quindi la sensibilità del metodo è:

Si dimostra che la sensibilità del metodo è massima quando:

Ottenendo:

E l'errore relativo su pari a:

L'errore su nel metodo classico, dipende principalmente dalle tolleranze di R₀, R₁, R_2. Se è compreso nell'intervallo di valori che può assumere la cassetta delle resistenze, conviene scegliere per massimizzare la sensibilità del circuito.

Per la realizzazione del metodo classico realizzeremo quanto descritto di seguito:

• Si realizza il circuito di ura che segue, sostituendo al galvanometro un multimetro digitale adoperato inizialmente in modalità voltmetro (elevata resistenza in ingresso pari a 10 MΩ) cosichè è possibile evitare di utilizzare la resistenza di protezione R_G senza rischiare di danneggiarlo;
• Fissato il valore della tensione di alimentazione ε, si diminuisce R₀ a partire dal suo valore massimo agendo sulle manopole della cassetta di resistenze, fino a raggiungere la condizione di ponte bilanciato . La regolazione della cassetta si effettua mediante le manopole ciascuna corrispondente ad una posizione decimale del valore della resistenza. Supponiamo che nella lettura della resistenza si commetta un errore di 0.2 Ω;
• Al fine di aumentare la sensibilità dello strumento (senza rischiare di danneggiarlo in quanto la corrente che percorre lo strumento è piccola una volta bilanciato col voltmetro) si utilizza la modalità amperometro del multimetro al fine di verificare che la corrente nel tester sia ;
• Si registra il valore di R₀ quando questa condizione è verificata;
• Utilizzando le resistenze di tolleranza 1% come R₁ e R₂ scegliendo il valore di  in base al valore presunto di R_X rispetto al massimo valore della cassetta di resistenze e cercando di massimizzare, laddove possibile, la sensibilità (corrispondente a ), ovvero R₁= R₂= 200 W
• Eseguiamo 3 misure con tre valori delle tensioni di alimentazione (3, 6 e 9V).

Abbiamo raccolto i dati ottenuti in Tabella 1, dopo avere assegnato questi valori alle costanti del sistema è risultato:

R_X1 W R_X2 ³ W

Il primo risultato si evince dal fatto che ponendo R₀ W il ponte risulta essere abbastanza bilanciato mentre per il secondo non si è riusciti a bilanciare il ponte (per valori 0.1W<R₀<10000W) quindi risulta R_X2>R_0max  ³ W

Per determinare il valore di R_x2 si è scelto di utilizzare una resistenza da 100 W e una da 20 W in modo tale da avere un rapporto a 5. Con tali valori si è trovato un valore di R_X2  W

Alla luce di questo risultato applicheremo tutti i tre metodi di stima alla R_X1 mentre  per ovvie ragioni applicheremo il primo ed il terzo metodo ad R_X2.

Il metodo della doppia pesata deve il suo nome all'analogia con il metodo di misura di masse mediante la doppia pesata che consente di rendere la misura indipendente dalla lunghezza dei bracci della bilancia  e quindi di eliminare errori sistematici legati alla loro diversa lunghezza spostando la massa da un piatto all'altro.

Ciò che facciamo in pratica è:

• Bilanciare il ponte ed annotare il valore di R
• Scambiare di posizione R₁ ed R₂;
• Si bilancia nuovamente il ponte annotando il valore di R₀'.

Infatti da:

e

Segue che:

Quindi l'errore relativo è:

E quindi:

Dove deriva dall'aver bilanciato il ponte per 2 volte. L'errore su R_X è principalmente determinato dalle tolleranze di R ed R₀'

Le grandezze appena indicate hanno valori:

• ε= 3, 6, 9 Volt;
• R₁ = 20 W vs 100 W
• R₂ = 100 W W

I dati raccolti sono riportati in tabella 2.

Nel metodo del confronto e della sostituzione le attività da realizzare sono:

• Si esegue la misura di R_X con il metodo classico;
• Si sostituisce R_X con la resistenza di confronto R_c di valore noto e scelta dello steso ordine di grandezza di R_X ;
• Si misura R_c bilanciando il ponte secondo le relazioni:

e

Da cui

Evidenziamo che l'errore su R_X è principalmente determinato dalle tolleranza di R₀, R₀'' ed R_C.

Le grandezze appena indicate hanno valori:

• e = 3, 6, 9 Volt;
• R₁ = 20 W
• R₂ = 100 W
• R_c = 200 W

Dato che R_x2  ³ W, si è scelto come resistenza campione quella da 200 W ottenendo così un R_x2 W

CONCLUSIONI:

In base ai procedimento descritti abbiamo calcolato i valori delle resistenze incognite, ottenendo risultati molto soddisfacenti. Si è deciso poi di fare una media pesata dei valori ottenuti per le singole resistenze ottenendo i valori finali di:

R_x1= 120  W allo 0,6%   R_x2 =18000 W allo 0,8%