Relazioni di Elettrostatica

Relazioni di Elettrostatica

La forza elettrica è data dalla legge di Coulomb : e 10^-l2 C²/Nm²

Il Campo elettrostatico è essendo Q la carica di prova, quindi il campo non dipende dalla presenza di un'altra carica, per lo meno non se parliamo di problemi statici, poiché se ci sono movimenti di cariche, il campo varia nel tempo e si producono effetti di induzione. In generale il campo elettrostatico è un campo conservativo. Per un insieme discreto di n cariche e per un insieme continuo abbiamo :

è la densità della distribuzione delle cariche sul dominio W, in generale poniamo :

per le curve l densità lineare

per le superfici s densità superficiale

per i volumi r densità volumetrica.

Alcuni Campi Elettrostatici interessanti sono i seguenti :

#1 Asse di una Bacchetta :     (per il filo indefinito è : )

#2 Asse del Disco : (per il piano indefinito è : )

#3 Asse di un Anello :

#4 Guscio Sferico :    per r > R

per r < R E è costantemente nullo. (Si ricava dal teorema di Gauss)

#5 Sfera carica uniforme : per r > R Come se la carica fosse tutta concentrata nel centro della sfera

per r < R

#6 In un Condensatore :    (È nullo all'esterno delle armature.)

Il lavoro del campo su una curva c che va da A a B è  

Mettiamo  quindi troviamo che

Per il calcolo del potenziale abbiamo una certa simmetria con il campo elettrostatico, solo che al denominatore abbiamo solamente r al posto di r² (e ovviamente V è una quantità scalare mentre E è un campo vettoriale).

Una relazione fondamentale è   

Le principali equazioni derivanti dalla legge di Coulomb sono le seguenti

Teorema di Gauss :   

Equazioni di Maxwell : (Mette in evidenza il fatto che E è un campo conservativo).

(Deriva dal teorema di Gauss in forma differenziale).

Nel calcolo del Potenziale usiamo quasi le stesse formule per quello del campo ossia :

per i sistemi discreti di cariche ; per i sistemi continui nel dominio W

Alcuni Potenziali importanti sono i seguenti.

#1 Asse di un Filo :  (Il filo è lungo 2L)

1.1 Filo indefinito :

#2 Asse del Disco :

#3 Piano indefinito : (Il termine costante tende a infinito, ma nelle d.d.p. si semplifica).

#4 Guscio Sferico :    per r > R (Come se fosse tutta nel centro).

per r < R

#5 Sfera carica : per r > R (Come se fosse concentrata tutta nel centro).

per r < R

#6 Condensatore : (È costante al di fuori delle armature)

La Capacità di un conduttore in equilibrio elettrostatico è data dalla formula costante :

Per una Sfera abbiamo :

Per un Condensatore :   Piano : 

Sferico

Cilindrico