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Fenomeno collettivo. Popolazione. Individuo. Carattere.

G E N E R A L I T A'

Fenomeno collettivo. Popolazione. Individuo. Carattere.

Il metodo statistico ha lo scopo di descrivere e interpretare i cosiddetti "fenomeni collettivi"; infatti nelle indagini statistiche si esaminano fenomeni, ad es. demografici, sociali, etc., che riguardano appunto delle "collettività", o comunemente, "popolazioni".

In statistica, il termine "popolazione" designa un insieme di elementi che presentano tutti delle caratteristiche comuni, elementi che vengono chiamati "individui" o "unità statistiche".

Facciamo alcuni esempi di popolazioni statistiche:

I cittadini che hanno il diritto al voto nelle lezioni per il Parlamento.

Gli abitanti della Francia.

Le autovetture in circolazione attualmente il Italia.

Le aziende tessili in Liguria.

E' facile capire che una "popolazione statistica" si può classificare in vari modi, in relazione alle diverse quantità, o "caratteri" o "argomenti", o "attributi", dei singoli elementi.

Per esempio:

Le autovetture circolanti in Italia possono essere classificate secondo la cilindrata, la casa costruttrice, l'anno di fabbricazione, la città di immatricolazione .

UNO DEGLI SCOPI DELLA STATISTICA E' LO STUDIO DI COME SI DISTRIBUISCE UNA DATA "POPOLAZIONE", IN RELAZIONE A UNO O PIU' "CARATTERI".

I caratteri che formano l'oggetto di una rilevazione statistica, possono essere:

a) Qualitativi, espressi in forma verbale, sovente rappresentata da aggettivi.

Esempi: il colore; la nazionalità; lo stato civile; l'affidabilità; l'attitudine ai lavori manuali; l'attitudine agli studi .

Questi caratteri possono differire per diverse manifestazioni, dette "modalità" del carattere.

Per esempio:

Il carattere "colore degli occhi" ha le modalità: celesti, grigi, neri .

Il carattere "stato civile" ha le modalità: celibe, nubile, coniugato .

b) Quantitativi, espressi da numeri.

Esempi: la statura, il peso, il numero di stanze di un appartamento .

Le modalità di un carattere quantitativo saranno, allora, espresse da numeri, che si chiamano anche "i valori" di quel carattere.

L a m e d i a

La media è un valore che è atto ad esprimere sinteticamente la distribuzione di intensità di un fenomeno collettivo, prescindendo dai singoli dati individuali.

Esistono vari tipi di "valori medi" il cui uso dipende dal particolare tipo di dati statistici in esame e dallo scopo che si vuole raggiungere.

L a m e d i a a r i t m e t i c a

La media aritmetica è quel valore che si può attribuire a ogni termine della distribuzione senza alterarne la somma. Dipende dal valore di tutte le osservazioni ed è fortemente influenzata dalla presenza di valori estremi.

DEFINIZIONE - Dati n numeri x₁, x₂, . x_n, la loro media aritmetica è pari al rapporto tra la loro somma e il numero di oggetti sommati.

In simboli scriviamo:

ESEMPIO

Si vuole determinare la media dei voti riportati da una classe di 25 alunni in seguito ad un compito di matematica.

Voti								Totale
Frequenza

Per calcolare la media aritmetica dei voti assegnati poniamo al numeratore la somma dei prodotti di ogni voto per il numero degli studenti che lo hanno meritato e, al denominatore, il numero totale degli studenti su cui sono ripartiti i voti.

Otteniamo:

Da cui otteniamo che la media aritmetica dei voti assegnati è 5,64.

OSSERVAZIONE: in questo caso, poiché si calcola la media aritmetica di valori di una variabile statistica che hanno frequenza diversa da 1, si parla di media aritmetica ponderata e la si chiama ancora media campionaria.

L a m e d i a g e o m e t r i c a

La media geometrica (calcolabile solo se tutti i termini sono positivi e nessuno è nullo) è quel valore che si può attribuire a ogni termine della distribuzione senza alterarne il prodotto.

DEFINIZIONE - si chiama media geometrica degli n numeri positivi x₁, x₂ . , x_n il numero positivo.

x_g= (x₁ x₂ . x_n) ^{1 / n} = x₁ x₂ . x_n

L a m e d i a a r m o n i c a

La media armonica è quel valore che si può attribuire a tutti i termini senza alterare la somma dei loro reciproci.

DEFINIZIONE - si chiama media armonica degli n numeri positivi x₁, x₂ . x_n, il numero positivo

x_a=

(1 / x₁) + (1 / x₂) + . + (1 / x_n)

L o s c a r t o d e l l a m e d i a

DEFINIZIONE - lo scarto della media è la differenza tra ciascuno dei valori della variabile e la loro media.

Se indichiamo con M la media dei valori di una qualunque variabile statistica e con S₁lo scarto del valore x₁della variabile da noi posseduta, si può calcolare ciascuno scarto con la formula:

S₁ = x₁- M, S₂ = x₂- M . S_n= x_n- M

ESEMPIO:

Se in una variabile statistica x₁ risulta essere 3 e M = 5,64, allora lo scarto della media sarà:

S₁ = 3- 5,64 = 2,64

L a v a r i a n z a

DEFINIZIONE - la varianza di una variabile statistica consiste nella media dei quadrati degli scarti.

Se una variabile statistica X assume n valori x_i, che hanno media M(x) e scarti s_i= x_i- M(x) la varianza, indicata simbolicamente con VAR(x) o s, è espressa da:

x_i- M(x)) ²+ (x₂- M(x)) ²+ . (x_n- M(x)) ²

VAR (X) =

Lo scarto quadratico medio

Nel calcolo della varianza, eseguendo i quadrati degli scarti, si ottiene un numero che ha le stesse unità di misura dei dati e perciò non è confrontabile con essi.

Per rispondere a tale esigenza si introduce lo scarto quadratico medio.

DEFINIZIONE - lo scarto quadratico medio o deviazione standard di una variabile statistica è la radice quadrata della varianza.

In simboli:

(x_i- M(x)) ²+ . + (x_n- M(x)) ²

L a m e d i a n a

Nel calcolo della media, tale valore può risultare molto condizionato da termini estremi.

Si definisce allora un nuovo indice statistico di posizione, la mediana.

DEFINIZIONE - si chiama mediana degli n numeri x₁, x₂ , . x_n ogni numero x_m tale che il numero degli x₁, x₂, . x_nminori o uguali a x_m sia uguale al numero degli x₁, x₂ , . x_nmaggiori o uguali a x_m. In altri termini, rappresentati gli x₁, x₂ , . x_ncome punti di una retta, x_m è un punto "centrale" rispetto agli x₁, x₂ , . x_n; ne cadono tanti alla sua sinistra quanti alla sua destra.

Dunque, in un insieme di numeri ordinato la mediana è:

- l'elemento centrale se i valori sono in numero dispari;

- la media aritmetica dei due termini centrali se i dati sono in numero pari.

ESEMPIO - si vuole calcolare la mediana di alcune temperature massime registrate nel giugno 1998 a Milano. I valori sono: 29, 24, 22, 25, 24, 21, 23, 26, 28, 30.

Il calcolo della mediana richiede innanzitutto l'ordinamento delle temperature.

Otteniamo così:

Poiché i dati sono in numero pari, bisogna calcolare la media aritmetica dei due elementi centrali: 24, 25.

Così avremo:

M = (24 + 25) / 2 = 24,5 °C

L a m o d a

DEFINIZIONE - Data una distribuzione di frequenze di un carattere quantitativo, si chiama "moda" ogni valore del "carattere" al quale corrisponde la "massima" frequenza.

ESEMPIO - Riferendoci all'esercizio precedente, si vuole calcolare la moda.

Si osserva che un solo valore della temperatura massima si è presentato più di un giorno, quindi la moda è: 24 °C.

ESERCIZI RISOLTI:

1 - Le votazioni riportate all'esame di analisi matematica durante la sessione estiva sono riportate qui di seguito:

19 18 21 27 24

18 21 20 25 29 20

21 23 22 26 28 22

24 30 25 27 20 19

26 18 23 22 27 21

18 19 18 30 28 25

Costruire una tabella della distribuzione delle frequenze in cui sia indicata per ogni voto la frequenza assoluta e percentuale. Tracciare un diagramma ad aste delle frequenze. Calcolare la media aritmetica, la moda, la mediana della seriazione.

VOTAZIONI	FREQUENZA ASSOLUTA	FREQUENZA PERCENTUALE

Esempio di calcolo della freq. Percentuale:

FR % (18) = (FR ASS / n° tot votaz) X 100 = (5 / 36) X 100 = 13,89 %

Media aritmetica (Md);

Md = somma votaz / n° votaz = 827 / 36 = 22,97

Moda (Mo);

Mo = 18 (votazione con la frequenza più alta)

Mediana (Me);

Me = (22 + 23) / 2 = 22,5 (in questo si calcola la media tra i due numeri centrali perché i dati sono in numero pari)

2 - Raccogli i dati riguardanti le altezze degli alunni della tua classe e suddividili in classi di ampiezza 5 cm. Calcola le frequenze assolute, relative e percentuali, la media aritmetica, la moda e la mediana.

Costruisci un istogramma delle frequenze assolute.

Altezze (cm)	N° alunni

ALTEZZE (cm)	FREQUENZA ASSOLUTA	FREQUENZA RELATIVA	FREQUENZA PERCENTUALE

Media aritmetica (MD)

Md₁ (160 - 165) = (160 + 165)/2 = 162,5 cm

Md₂ (165 - 170) = 167,5 cm

Md₃ (170 - 175) = 172,5 cm

MD = (4 Md₁ + 8 Md₂ + 8 Md₃)/20 = 168,5 cm

Moda (Mo):

Mo = 165-170 / 170-175

Mediana (Me) = è un valore riposto nella fascia 165 - 175 cm

3 - I numeri 3, 6, 4, 12, 10, 4, 12, a, hanno per media aritmetica 7;

A - Calcolare il valore di a;

B - Calcolare la mediana della distribuzione.

Md = 7

Essendo 7 il valore della media posso ricavare l'incognita a dall'equazione:

(51 + a) / 8 = 7;

51 + a = 56;

a = 5

Me = (5+6) / 2 = 5,5

4 - Calcolare la media aritmetica e lo scarto quadratico medio delle seguenti distribuzioni:

A - 7,4; 8,2; 7,5; 8,1; 7,8

B - 6,8; 7,6; 8,1; 7,3

C - 2; 3; 4; 4; 6; 7; 7; 8; 9; 10

A. Md = 7,8

Scarto quadratico medio (s

s ((x₁- Md)²+ (x₂- Md)² + . +(x₁- Md)²) / n = ((7,4- 7,8)²+ (8,2- 7,8)² +(7,5- 7,8)²+ (8,1- 7,8)² + (7,8- 7,8)²) / 5 = 0,31

B. Md = 7,45

s ((6,8- 7,45)²+ (7,6- 7,45)² +(8,1- 7,45)²+ (7,3- 7,45)² ) / 4 = 0,472

C. Md = 6

s ((2- 6)²+ (3- 6)² +(4- 6)²+ (4- 6)² +(6 - 6)²+ (7- 6)² +(7- 6)²+ (8- 6)² +(9- 6)²+ (10- 6)² ) / 10 =2,53

5 - Calcolare lo scarto quadratico medio della seguente distribuzione:

x
f

avendo indicato con f la frequenza assoluta di ciascun valore .

Md = ((5 X61) + (18 X64) + (42X67) + (27X70) + (8X73)) / 100 = 67,45

s ((5 (61- 6,45)²+ 18 (64- 67,45)² +42 (67- 67,45)²+ 27 (70- 67,45)² +8 (73 - 67,45)²) /100 =2,92

6 - Calcolare mediana, media aritmetica e scarto quadratico medio della seguente distribuzione:

Me = 4

Md = 4,32

s ((2 (1- 4,32)²+ 4 (2- 4,32)² +4 (3- 4,32)²+ 4 (4- 4.32)² +3 (5 - 4,32)²+ 4 (6- 4,32)²+ 2 (7- 4,32)² + (8- 4,32)²+ (9- 4,32)² ) / 25 =2,13

PROGRAMMAZIONE IN TURBO PASCAL APPLICATA A CONCETTI FONDAMENTALI DELLA STATISTICA DESCRITTIVA

CALCOLO DELLA MEDIA

Program CALCOLO_MEDIA;

uses crt;

const n=10;

var

VALORI: array [1..n] of real;

SOMMA, MEDIA: real;

I: integer;

Begin

writeln ('Inserisci i valori');

for I:=1 to n do read ( VALORI [ I ]);

SOMMA:=0;

for I:=1 to n do

SOMMA:= SOMMA + VALORI [ I ];

MEDIA:= SOMMA div n;

writeln ('Il valore della media è ', MEDIA:4:2);

readln;

end.

CALCOLO DELLA MODA

Program CALCOLO_MODA;

uses crt;

const n=10;

var

VALORI, FREQ: array [1..n] of real;

MAX, MODA: real;

I: integer;

Begin

writeln ('Inserisci i valori');

for I:=1 to n do read ( VALORI [ I ]);

writeln ('Inserisci le frequenze corrispondenti ai valori');

for I:=1 to n do read ( FREQ [ I ]);

MAX:= FREQ [ 1 ];

MODA:= VALORI [ 1 ];

for I:=2 to n do

if FREQ [ I ] > MAX then

begin

MAX:= FREQ [ I ];

MODA:= VALORI [ I ];

end

end.

CALCOLO DELLA VARIANZA

Program CALCOLO_VARIANZA;

Uses crt;

const n=10;

var

VALORI: array [1..n] of real;

SOMMA, MEDIA, NUMER, VARIANZA: real;

I: integer;

Begin

writeln ('Inserisci i valori');

for I:=1 to n do read (VALORI [ I ]);

SOMMA:=0;

for I:=1 to n do

SOMMA:=SOMMA + VALORI [ I ];

MEDIA:= SOMMA div n;

NUMER:=0;

for I:=1 to n do

NUMER:= NUMER + sqr (VALORI[ I ] - MEDIA);

VARIANZA:= NUMER div n;

writeln ('Il valore della varianza è ', VARIANZA:4:2);

readln;

end.

CALCOLO DELLO SCARTO QUADRATICO MEDIO

Program CALCOLO_ SIGMA;

uses crt;

const n=10;

var

VALORI: array [1..n] of real;

SOMMA, MEDIA, NUMER, SIGMA: real;

I: integer;

Begin

writeln ('Inserisci i valori ');

for I:=1 to n do read ( VALORI [ I ]);

SOMMA:=0;

for I:=1 to n do SOMMA:=SOMMA + VALORI[ I ];

MEDIA:=SOMMA div n;

NUMER:=0;

for I:=1 to n do

NUMER:=NUMER + sqr (VALORI[ I ] - MEDIA);

SIGMA:= sqrt (NUMER div n);

writeln ('Il valore dello scarto quadratico medio è ', SIGMA:4:2);

readln;

end.

CALCOLO DELLA COVARIANZA

Program CALCOLO _COVARIANZA;

uses crt;

const n=10;

var

VARX, VARY: array [1..n] of real;

SOMMAX, SOMMAY, MEDIAX, MEDIAY, NUMER, COVARIAN: real;

I: integer;

Begin

writeln ('Inserisci i valori della variabile X');

for I:=1 to n do read ( VARX [ I ]);

writeln ('Inserisci i valori della variabile Y');

for I:=1 to n do read ( VARY [ I ]);

SOMMAX:=0;

for I:=1 to n do

SOMMAX:=SOMMAX + VARX[ I ];

M EDIAX:=SOMMAX div n;

SOMMAY:=0;

for I:=1 to n do SOMMAY:=SOMMAY + VARY[ I ];

M EDIAY:=SOMMAY div n;

NUMER:=0;

for I:=1 to n do

NUMER:= NUMER + ((VARX[ I ] - MEDIAX)*(VARY[ I ] - MEDIAY));

COVARIAN:= NUMER div n;

writeln ('Il valore della covarianza è ', COVARIAN:4:2);

readln;

end.

CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI REGRESSIONE

Program CALCOLO_COEFFICIENTE_DI_REGRESSIONE;

uses crt;

const n = 10;

var

VARX, VARY: array [1..n] of real;

SOMMAX, SOMMAY, MEDIAX, MEDIAY, NUMER, DENOM, COEFFREG: real;

I: integer;

Begin

writeln ('Inserisci i valori della variabile X');

for I:=1 to n do read ( VARX [ I ]);

writeln ('Inserisci i valori della variabile Y');

for I:=1 to n do read ( VARY [ I ]);

SOMMAX:=0;

for I:=1 to n do SOMMAX:=SOMMAX + VARX[ I ];

M EDIAX:=SOMMAX div n;

SOMMAY:=0;

for I:=1 to n do SOMMAY:=SOMMAY + VARY[ I ];

MEDIAY:=SOMMAY div n;

NUMER:=0;

for I:=1 to n do

NUMER:= NUMER + ((VARX[ I ] - MEDIAX)*(VARY[ I ] - MEDIAY));

DENOM:=0;

for I:=1 to n do

DENOM:= DENOM + sqr ( X[ I ] - MEDIAX);

COEFFREG:= NUMER div DENOM;

writeln ('Il valore del coefficiente di regressione ', COEFFREG:4:2);

readln;

end.

CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

Program CALCOLO_COEFFICIENTE_DI_CORRELAZIONE;

uses crt;

const n = 10;

var

VARX, VARY: array [1..n] of real;

SOMMAX, SOMMAY, MEDIAX, MEDIAY, A, COVARIAN, NUMER, SOMSIGMX, SOMSIGMY, DENOM, COEFCORR: real;

I: integer;

Begin

writeln ('Inserisci i valori della variabile X');

for I:=1 to n do read ( VARX [ I ]);

writeln ('Inserisci i valori della variabile Y');

for I:=1 to n do read ( VARY [ I ]);

SOMMAX:=0;

for I:=1 to n do SOMMAX:=SOMMAX + VARX[ I ];

MEDIAX:=SOMMAX div n;

SOMMAY:=0;

for I:=1 to n do SOMMAY:=SOMMAY + VARY[ I ];

M EDIAY:=SOMMAY div n;

A:=0;

for I:=1 to n do

A:= A + ((VARX[ I ] - MEDIAX)*(VARY[ I ] - MEDIAY));

COVARIAN:= A div n;

SOMSIGMX:=0;

for I:=1 to n do

SOMSIGMX:= SOMSIGMX + sqr (VARX[ I ] - MEDIAX);

SIGMAX:= sqrt (SOMSIGM div n);

SOMSIGMY:=0;

for I:=1 to n do

SOMSIGMY: = SOMSIGMY + sqr (VARY[ I ] - MEDIAY);

SIGMAY:= sqrt (SOMSIGMY div n);

DENOM:=SIGMAX * SIGMAY;

COEFCORR:= NUMER div DENOM;

writeln ('Il valore del coefficiente di correlazione è: ', COEFCORR:4:2);

readln;

end.

CALCOLO DELLA MEDIANA

Program CALCOLO_MEDIANA;

uses crt;

const n = 10;

var

VALORI: array [1..n] of real;

scambio, I: integre;

MEDIANA, C: real;

Begin

writeln ('Inserisci i valori');

for I:=1to n do read (VALORI [ I ]);

scambio:=1;

while scambio do begin

scambio:=2;

for I:=1 to n - 1 do

if VALORI [ I ] > VALORI [ I+ 1 ] then

begin

C:=VALORI [ I ];

VALORI [ I ] := VALORI [ I + 1 ];

VALORI [ I + 1 ]:=C;

scambio:=1;

end;

end

if n mod 2 <> 0 then

MEDIANA :=VALORI [(n div 2 ) + 1 ];

else

MEDIANA:= (VALORI [ n div 2] + VALORI [(n div 2) + 1]) / 2;

writeln ('Il valore della mediana è ', MEDIANA:4:2);

readln;

end.

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Fenomeno collettivo. Popolazione. Individuo. Carattere.

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Fenomeno collettivo. Popolazione. Individuo. Carattere.

L a m e d i a

L a m e d i a g e o m e t r i c a

L a m e d i a a r m o n i c a

L o s c a r t o d e l l a m e d i a

L a v a r i a n z a

Lo scarto quadratico medio

Nel calcolo della varianza, eseguendo i quadrati degli scarti, si ottiene un numero che ha le stesse unità di misura dei dati e perciò non è confrontabile con essi.

L a m e d i a n a

VOTAZIONI

FREQUENZA ASSOLUTA

FREQUENZA PERCENTUALE

N° alunni

CALCOLO DELLA MEDIA

CALCOLO DELLA MODA

CALCOLO DELLA VARIANZA

CALCOLO DELLO SCARTO QUADRATICO MEDIO

CALCOLO DELLA COVARIANZA

CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI REGRESSIONE

CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

Program CALCOLO_COEFFICIENTE_DI_CORRELAZIONE;