MATEMATICA Storia del concetto di  Infinito secondo i principali pensatori del mondo antico

ITALIANO L" Infinito" di Leopardi

INGLESE "Frankenstein or the modern Prometheus" Mary Shelley

Alice Faccioli Classe V O Anno Scolastico 2007-2008

Matematica

1.1 Concetto di infinito nel mondo antico

La tematica dell' infinito viene presa in considerazione e discussa a partire dal mondo greco. In esso tale idea fu elaborata con numerose accezioni negative. Si riteneva infatti conoscibile solo ciò che era finito e determinato e di conseguenza impensabile un infinito "attuale", cioè concreto e visibile. Tale rifiuto ad ammettere l'infinito in atto nella matematica greca  e più generalmente un diffuso disinteresse delle civiltà antiche per l' infinito è detto "horror infiniti".

Nel V sec a.C. il filosofo Anassagora, che compì degli studi sul problema dell'infinita divisibilità , affermava:

"Non v'è mai un limite minimo del piccolo, ma v'è sempre un più piccolo ,essendo impossibile che ciò che è cessi di essere per divisione".

Molti interpretano tale dichiarazione come affermazione dell' infinita divisibilità  di ogni cosa e dunque alcuni storici della matematica hanno voluto vedervi in essa una primitiva idea del limite. Anassagora però continua :

" . ma anche nel grande v'è sempre un maggiore .Ed è uguale in estensione al piccolo: di per sé ogni cosa è insieme e grande e piccola . " .

In questo senso è più corretto interpretare la duplice progressione del grande e del piccolo non tanto come infinita divisibilità, ma piuttosto come infinita relatività di tutte le cose reali: ogni cosa è contemporaneamente grande e piccola a seconda del punto di vista da cui viene osservata.

In questo dibattito intervenne soprattutto Aristotele il quale sostenne con decisione la infinita divisibilità delle grandezze geometriche. Egli distinse tra  Infinito in atto e Infinito in potenza, intendendo il primo come entità reale e concreta e il secondo la possibilità di aggiungere sempre qualcosa a una quantità determinata senza che ci sia un elemento ultimo. A giudizio del filosofo l' unica accezione di infinito accettata era l' infinito in potenza inteso come "divenire": un numero o una qualsiasi altra quantità, è potenzialmente in grado di tendere all'infinito, aumentandola ogni volta di poco, ma ogni volta risulterà un entità finita.

Aristotele nega infatti l' esistenza di un infinito in atto sia fisico che puramente mentale, rifiutando anche la possibilità stessa di pensare un infinito numero di oggetti concreti.

Aristotele dunque associa indissolubilmente all'infinito un valore negativo, espressione della sua incompletezza e potenzialità non attuata e non attuabile. Proprio questa idea negativa porta al rifiuto di introdurre l'infinito attuale nella matematica greca.

1.2 I paradossi logici dell' infinito

Il paradosso, per definizione, è una proposizione formulata in apparente contraddizione con l'esperienza comune o con i principi elementari della logica, ma che all'esame critico si dimostra valida. Come impostazione di ragionamento, il paradosso è stato molto spesso utilizzato, fin dai tempi antichi, per dimostrare tesi apparentemente assurde che richiedevano una spiegazione più complessa di un normale procedimento logico. Tale tecnica fu utilizzata anche per analizzare l' infinito e trova il più celebri esempi nei paradossi del greco Zenone.

Il filosofo, rifiutando, alla stregua dei suoi contemporanei, il concetto di infinito, sviluppò una serie di argomenti contro la molteplicità e il divenire esplicandoli, appunto, attraverso la forma del paradosso.

Paradossi contro il pluralismo

1.2.1 Primo paradosso

Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose, sostiene che se le cose sono molte esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.

1.2.2 Secondo paradosso

Il secondo paradosso invece sostiene che se queste unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.

Paradossi contro il movimento

1.2.3 Primo paradosso o dello stadio

non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.

1.2.4. Secondo paradosso  o di Achille e la tartaruga

Se Achille (detto 'pie' veloce') venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la Tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

In pratica, posto che la velocità di Achille (V_a) sia N volte quella della tartaruga (V_t) le cose avvengono così:

• dopo un certo tempo t₁ Achille arriva dove era la tartaruga alla partenza (L₁).
• nel frattempo la tartaruga ha compiuto un pezzo di strada e si trova nel punto L₂.
• occorre un ulteriore tempo t₂ per giungere in L₂.
• ma nel frattempo la tartaruga è giunta nel punto L₃ e così via.

Quindi per raggiungere la tartaruga Achille impiega un tempo

T = t₁+ t₂+ t₃+ . + t_n

e quindi non la raggiungerà mai poiché la divisione infinita dello spazio comporta che Achille in realtà non si muova mai, ma resti sempre fermo, nell'impossibilità di uscire dall'infinita serie di segmenti divisibili.

1.2.5 Terzo paradosso o della freccia

Una freccia scoccata dall'arco è ferma in ciascuno dei luoghi in cui viene a trovarsi, perciò da una somma di stati immobili non si può produrre movimento, per cui il suo moto è solo apparente.

1.2.6 Quarto paradosso o delle masse nello stadio

una serie di masse che si muovono in uno stadio impiega un certo tempo ad incrociare una serie di masse ferme ed un tempo dimezzato ad incrociare una serie di masse che si muove in senso contrario. In questo modo, un certo tempo viene a coincidere con la sua metà, il che è contraddittorio, perciò il moto è solo apparente.

1.3 Galileo e Newton: l' attuazione dell'infinito

Lo studio dell' infinto vanta tra i suoi protagonisti due grandi della scienza: Galileo e Newton.

A causa della rivoluzione astronomica di Galilei il mondo improvvisamente diventa infinito. In particolare, l' introduzione ad opera dello scienziato del cannocchiale, stravolge le comuni certezze. Nell' antichità erano state censite fino a 7000 stelle dagli occhi più acuti, ma col cannocchiale ne divengono visibili molte più di 7000. Il cannocchiale si conura quindi come lo strumento che fa sperare di vedere oltre il confine, di proseguire oltre il limite umano. Quindi, con Galileo, anche la scienza fisica rompe le colonne d' Ercole dell' antichità, inizia un discorso in cui l' illimitato, l' infinito diventa un concetto chiave, fondamentale anche nelle misure.

Nel suo ultimo libro I discorsi su due nuove scienze discute a lungo sull' infinito, ma non sa decidersi se caratterizzarlo come solamente potenziale o attuale. È per questo motivo che Galilei è al medesimo tempo il primo dei moderni e l' ultimo dei greci, poiché intuì grandi sfide intellettuali, le seppe discutere e proporre agli altri ma non le superò con scelte decisive.

Il 1642 segna la morte di Galilei e la nascita di Newton. Newton assunse, a differenza del predecessore, l' infinito attuale come concetto normale della scienza e lo usò senza problemi. Contemporaneamente al filosofo Leibniz, arrivò a costruire con l' idea di infinito attuale un calcolo potentissimo. Essi,  attraverso lo studio delle aree dei poligoni e con lo scopo di trovare l' area del cerchio, riuscirono a fondare quello che è definito calcolo infinitesimale, che sta alla base del calcolo moderno.

Per quanto le teorie infinitesimali siano ormai assodate, bisogna affrontare sempre con molta cura l' argomento, poiché è umanamente impossibile conoscere pienamente i segreti dell' infinito. È qui che si scaglia perciò il paradosso dell' uomo moderno: l'infinito, l'illimitato come limite di comprensione.

Italiano

L' infinito di Leopardi

Composto a Recanati nel 1819, L'infinito è il primo degli idilli leopardiani.

La denominazione "idilli" deriva dal titolo dei componimenti di ambiente pastorale del poeta greco Mosco, tradotti da Leopardi nel 1815. In questa "raccolta" prevalgono le tematiche autobiografiche esistenziali come la dolcezza dell' abbandono almemoria - I processi di memorizzazione dall'acquisizione al richiamo - Studi comparati" class="text">la memoria e alla fantasia, la fine dei sogni giovanili e la scoperta del dolore.  In particolar modo gli idilli del 19-21 sono l' espressione della lacerazione interiore del poeta , caratterizzata dall' inconciliabile binomio tra il desiderio di infinito dell' essere ( ovvero la Sehnsucht romantica) e l' essenziale limitatezza umana, che viene ovviato dall' uso dell' immaginazione, dell' illusione e del ricordo.

L' esperienza che il poeta descrive in questa lirica è quella dello smarrimento di sé raggiunto mediante l' abbandono all' immaginazione e al pensiero dell' infinito.  Il componimento si articola quindi nella fuga del pensiero dal mondo fisico e nel suo approdo nel mondo "metafisico"(inteso non in senso religioso, poiché tale concezione urterebbe con la visione materialistica del poeta, bensì in chiave sensistica) attraverso un continuo fluire di pensieri e sensazioni che rimandano talvolta alla sfera sensitiva, talvolta a quella emotiva.

L' infinito, nella visione di Leopardi, non si conura come reale, ma come frutto dell' immaginazione.

Esso rappresenta quello slancio vitale e quella tensione verso la vagheggiata felicità connaturati ad ogni uomo, diventando in questo modo il principio stesso del piacere. L' animo del poeta è quindi spinto da una forza emotiva ad infrangere i confini fisici, condensati metaforicamente nella siepe, interposti tra sé e"interminati spazi [ . ], sovrumani silenzi"( vv.5-6). Questo continuo passaggio tra limitato e illimitato è messo in luce, dal punto di vista linguistico, dal ampio utilizzo di aggettivi dimostrativi da un lato, che sottolineano la tangibilità e la concretezza, e dall' uso insistito di termini che rimandano al vago e producono la suggestione dell' indefinito dall' altro.

Proprio tale limite ridesta più intenso il bisogno di un "di là", di un infinito che l' anima scopre non nelle cose, ma ripiegando in se stessa, nel proprio centro, e se lo ura come spazi interminati, come una profonda quiete.

Ecco che il cuore si "spaura"(v.8), si smarrisce e si turba. Uno sgomento che pone il poeta davanti all' amara verità della natura umana. Nella lirica si vede prima la ura di Leopardi, chiusa nei limiti dell' esistere quotidiano, nella sua storia dolorosa di dolore e travaglio, e poi quel nuovo "io"(v. 7) profondo, che emerge dalla sua coscienza e abbraccia l' infinito.

La capacità immaginativa risulta l' unica possibile risposta alla condizione di un uomo per natura " grande e infelice" perché condannato dal suo desiderare "infinito" a non riconoscersi in una condizione materiale e limitata, da cui necessariamente sente il bisogno di trascendere. Per questo il naufragare diventa dolce, e sparisce ogni timore. L' immagine del naufrago dona un senso di perdita, quasi morisse quell' io che conosce solo la vita limitata e affannosa, per perdersi dolcemente in quella più vasta, che, per un attimo, ha presentito. Tra il perdersi e il trovarsi si staglia la ura di quest' uomo, e la lotta tra la sua anima e il suo corpo, sovrani di due mondi diversi, e vittime di una reciproca reclusione.

La felicità è pertanto un' esigenza insopprimibile e, al tempo stesso, impossibile da conseguire.

Inglese

Frankenstein: a search over the limits

"Frankenstein or the Modern Prometheus" is a Gothic novel written by Mary Godwin , the young daughter of the philosopher William Godwin and wife of the poet Percy Bysshe Shelley.

Mary's mother died 15 days after she was born. Her father educated her to be fascinated but terrified by technology. And even if her mother has died when Mary was too young to remember her, Mary was educated by her mother posthumously by writings, to respect nature. This was the feeling of many other writers and poets during the Romantic period.

In 1816, Mary Shelley came to Lord Byron's summer house in Geneva with her husband. Due to the windy weather of that summer, most of their time was spent inside the villa. One night, someone suggested to make a contest of sorts: they would have seen who could write the most thrilling, horrifying tale. Mary Shelley was having some problems writing the book, until one night, she had a horrifying dream.

From the 1831 edition of Frankenstein:

"[]the pale student of unhallowed arts standing before the thing he had put together, I saw the hideous phantasm of a man stretched out, and then, on the working of some powerful engine, show signs of life and stir with an uneasy, half vital motion[ . ]".

Upon her dream vision, Mary began to write the original and best Gothic tale titled "Frankenstein or the Modern Prometheus".

The novel is written in form of letters by Robert Walton, the Captain of a ship, to his own sister. In his letters the narrator tells the story of a strange man he helped during an expedition organized to discover "a passage near the pole" towards "hard-to-reach" countries. The man, a young doctor called Victor Frankenstein, is taken aboard the ship and one day, before dying, tells the Captain his story.

He is a Swiss scientist from Geneva. He devoted his life to scientific studies in particular to the mystery of the origin of life. He put together a Creature assembling different parts from dead corpses. After giving it an electric shock, the Creature begin to breathe and open his eyes but Victor soon realize how monstrous and horrible it is, and terrified he run away. At first the Monster (unnamed) shows love and generosity towards people in fact he observes a family living in the wood nearby, learns their language (then he has a very good speech) and does them favours. However, when he eventually meets them face to face, they reject him because of his ugly appearance. So this love turns into hatred and violence, he lives in solitude and he can't stand the desolation of his life, he begins to hate his maker who has left him alone. The Creature asks the scientist to give him at least a female companion. At first Frankenstein agrees but soon after he realizes that he has to make a second Monster. From that moment on, Frankenstein's life becomes a nightmare. The Monster persecutes him and kills his wife, Elizabeth, and his brother William. Frankenstein desperate tries to destroy the Creature, but he dies, consumed by the agony of his ego. The Monster, seen his creator dead, decides to kill himself . In the Greek myth of Prometheus, which the novel takes its subtitle from, the giant Prometheus brings knowledge of fire to man, and is tormented by the Gods for his crime.

Doctor Frankenstein does the same thing: uses forbidden knowledge, and then pays the price of a tormented existence.

"Life and death appeared to me ideal bounds, which I should first break through " .

His ambitions have no consideration of anything other than himself, because that is the limit of his understanding. The concept of "unlimited power" is characteristic of Victor and raises his "thirst for knowledge" evolving into an ambition of achieving fame.

"[W]hat glory would attend the discovery, if I could banish disease from the human frame and render man invulnerable to any but violent death." .

As we learn in the very first few chapters of the book, Victor becomes obsessed with his search for knowledge. After attending university and quickly taking great interest in his studies, the real idea of dangerous knowledge comes in his mind when he isolates himself from everything and begins to work on the Monster. With all the knowledge he has and the search for even more knowledge drives him to insanity. No amount is too much for him, and he can only prove it by playing God, which is exactly what he does (Goethe's tragic hero Faust also desires God-like knowledge, selling his soul to the Devil in return for the power).

His desire for knowledge for its own sake even mutates into a drive for glory.

"[M]y mind was filled with one thought, one conception, one purpose far more, will I achieve explore unknown powers, and unfold to the world the deepest mysteries of creation,".

It's clear that Victor's search for knowledge drives him over the edge. He brings himself out of a safe and normal society only to put himself in danger; even admitting that he has lost his health due to his own fault. Furthermore the Monster he has created kills several people, even loved ones. Victor's knowledge that once was a gift has quickly turned into a curse - for himself, and for all of close society. Also Walton has an overwhelming desire to have full, complete knowledge and to break the boundaries, the limits that none have previously done. Both of them never change their mind, Frankenstein follow his creation to the north pole and Walton would rather die than return in shame and defeat. This kind of behaving derived from their ambition causes them disasters and also death.

The novel can be read as a warning to modern scientific experiments. It mainly deals about the moral responsibility of the scientist when his discoveries go beyond his capacity of control, that is, when he explores the limits of human knowledge. Mary Shelley has been able to foresee clearly the consequences of immoral technological utilization so that her tale of horror can't be considered merely as a fantastical ghost story, but rather as a deep insight into the probable consequences of morally wrong scientific researches and in particular into the human spirit, characterized by the opposition of the infinite desire to overreach human limit and the limit itself.

BIBLIOGRAFIA

"L'INFINITO - Itinerari filosofici e matematici d'un concetto di base" di L. Lombardo

"L'infinito nel pensiero dell'antichità classica" di Rodolfo Mondolfo

"Letteratura italiana: testi e critica con lineamenti di storia letteraria" di Pazzaglia

Libri di testo in adozione:

o   "Tempi e immagini della letteratura" di Anselmi- Fennocchio

o   "Echoes 2" di Heaney- Montanari- Rizzo

INDICE

Matematica

Concetto di infinito nel mondo antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Paradossi logici dell'infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Galileo e Newton: l' attuazione dell' infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Italiano

2.1 "L' Infinito" di G.Leopardi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Inglese

3.1 "Frankenstein: a search over the limits" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7