FUNZIONI GONIOMETRICHE FONDAMENTALI

FUNZIONI GONIOMETRICHE FONDAMENTALI

Circonferenza goniometrica

Una circonferenza si dice goniometrica quando il centro si trova nell'origine di un sistema di assi sectiunesiani ortogonali e il raggio è unitario; sulla circonferenza il senso positivo è quello antiorario.

Tale circonferenza viene divisa da due diametri perpendicolari AA' e BB' in quattro quadranti:

I quadrante, corrispondente all'arco AB

II quadrante, corrispondente all'arco BA'

III quadrante, corrispondente all'arco A'B'

IV quadrante, corrispondente all'arco B'A

Seno e Coseno di un angolo

Essendo O il centro della circonferenza e OP il raggio unitario, le funzioni seno e coseno dell'angolo a si possono definire nel seguente modo:

Il Seno di un arco (o del corrispondente angolo al centro) è l'ordinata dell'estremo dell'arco e quindi:

Il Coseno di un arco (o del corrispondente angolo al centro) è l'ascissa dell'estremo dell'arco e quindi:

Variazione del seno e del coseno di un angolo

Dalle definizioni date segue che:

Periodicità del seno e del coseno di un angolo[1]

Aggiungendo o sottraendo all'arco AP = a (. 5) multipli di 2p, i nuovi archi a + 2kp hanno ancora lo stesso estremo P e, di conseguenza, il seno e il coseno degli angoli a + 2kp sono rispettivamente uguali al seno e al coseno dell'angolo a, cioè:

seno e coseno di un angolo sono funzioni periodiche con periodo 2p

Pertanto:

Sinusoide e Cosinusoide

Ci proponiamo ora di studiare e rappresentare graficamente le funzioni:

y = senx sinusoide e y = cosx cosinusoide

dove x misura in radianti l'arco rettificato; il seno dell'arco è l'ordinata del suo estremo e il coseno l'ascissa dell'estremo stesso.

SINUSOIDE

COSINUSOIDE

Relazione tra seno e coseno di uno stesso angolo

La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo vale 1, cioè:

La relazione (1) ci permette di calcolare il valore del seno di un angolo quando è noto il valore del coseno dello stesso angolo e viceversa:

I valori di e di sono entrambi accettabili in quanto si ha:

Osservazione: seno e coseno sono funzioni definite in tutto e a valori in [-l, 1].

Tangente trigonometrica di un angolo

Consideriamo la circonferenza goniometrica e conduciamo:

a.   la retta t, tangente in A alla circonferenza nell'origine degli archi;

b.  l'arco AP = a

Prolunghiamo il raggio OP sino ad incontrare la retta t in T. Ciò premesso definiremo la tangente trigonometrica di un arco (o del corrispondente angolo al centro) l'ordinata del punto di intersezione (quando esiste) fra la tangente geometrica nell'origine degli archi e il prolungamento del raggio estremo dell'arco, cioè:

Osservazioni: se il punto P (. 9) coincide con A, cioè se a , il punto T ha ordinata nulla e sarà:

tg 0 = 0

Al variare del punto P sull'arco AB, l'ampiezza di a varia da 0 a ; quando a si approssima a , la tangente trigonometrica AT cresce e il suo valore è maggiore di un qualunque numero per quanto grande esso sia. Si dice cioè che, al tendere di a a , la tangente dell'angolo tende a e cioè:

Per a = , la retta a cui appartiene il raggio vettore è parallela alla tangente t; non esiste dunque il punto d'intersezione e quindi: la tangente di non esiste.