Il modello per tre dimensioni

Il modello per tre dimensioni

Analizzato il caso per una singola dimensione, possiamo ora estendere il discorso a tre dimensioni.

Basta considerare gli stati di base scomponendo il moto nelle tre direzioni e quindi considerandole nello stesso modo utilizzato nel caso ad una dimensione. Di conseguenza avremo delle equazioni hamiltoniane utili alla descrizione dell'ampiezza di probabilità che l'elettrone "salti" su uno dei sei atomi circostanti, il che implica la presenza di tre numeri d'onda. A questo punto si scrive la soluzione dello stato stazionario come un'onda piana, avendo dunque ora un numero d'onda k pari alla radice della somma dei quadrati delle tre componenti (teorema di Pitagora).

Supponendo quindi i vari fattori uguali per le tre direzioni, si ricava (nel caso di un reticolo cristallino cubico) un'equazione per l'energia simile a quella ottenuta per una dimensione: