LE EQUAZIONI DI II° GRADO

LE EQUAZIONI DI II° GRADO

§1. Introduzione

Definizione. 'Si chiama equazione di II° grado (o quadratica) ad un'incognita un'eguaglianza tra due polinomi di II° grado in una lettera detta incognita. Useremo di regola per rappresentare l'incognita la lettera x.'  Se indichiamo con A(x) e B(x) i due polinomi di secondo grado in x, l'equazione è quindi un'espressione del tipo A(x)=B(x). Per es.

x²-5=3x²-x-4;

x+2-x²= 2+x;

0=4x²+10;

sono tutte equazioni di secondo grado ad un'incognita. Osserviamo che non necessariamente entrambi i polinomi A(x) e B(x) - che d'ora in poi chiameremo, rispettivamente, primo e secondo membro - devono essere di secondo grado. Basta che uno dei due sia di secondo grado e che l'altro non sia di grado superiore al secondo.

Risolvere un'equazione significa trovare quei numeri, se ci sono, che sostituiti al posto dell'incognita soddisfano il segno di =. Per es., l'equazione

x²-3x+6=2x

ha una soluzione nel numero 2. Infatti, sostituendo al posto di x il numero 2, otteniamo

2²-3x2+6=2x2; 4-6+6=4; 4=4 vero!

La stessa equazione ha un'altra soluzione nel numero 3. Infatti

3²-3x3+6=2x3; 9-9+6=6; 6=6 vero!

Si può dimostrare che quell'equazione non ha nessun'altra soluzione. Questo es. ci serve a rimarcare un fatto importante: a differenza delle equazioni di I° grado ad un'incognita studiate in Iª (che di regola avevano una sola soluzione), quelle di II° grado hanno di regola 2 soluzioni, che in casi particolari possono ridursi - come vedremo - ad una ed anche a nessuna. In ogni caso, mai più di 2. Studiamo adesso l'algoritmo risolutivo delle equazioni quadratiche. Cominciamo con la seguente generale

Definizione. Se due equazioni hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti.

È chiaro quindi che, data un'equazione, il primo sforzo deve essere dedicato a trasformarla in un'equazione equivalente più semplice. Per fare questo si usano i 3 princìpi generali delle uguaglianze algebriche:

I° PRINCIPIO DELLE UGUAGLIANZE. In un'uguaglianza algebrica A=B, se aggiungiamo (o togliamo) ad entrambi i membri lo stesso polinomio C, otteniamo un'uguaglianza equivalente. (Ricordiamo che due uguaglianze si dicono equivalenti se, quando è vera l'una è vera anche l'altra; e, quando è falsa l'una è falsa anche l'altra). Il primo principio sancisce quindi che

A=B Þ A C=B C.

Per es. l'equazione

2x²-5=x+4

è equivalente, ossia ha le stesse soluzioni, dell'equazione

2x²-5+5=x+4+5,

ottenuta aggiungendo lo stesso numero 5 ad entrambi i membri. Osserviamo ora che la suddetta equazione si trasforma nell'equazione equivalente:

2x²=x+9.

Qual è stato il risultato netto di aver aggiunto 5 ad entrambi i membri? Il numero -5 è passato da un membro all'altro cambiando di segno. Analogamente, avremmo

2x²=x+9 Þ (stavolta tolgo x ad entrambi i membri) 2x²-x=x+9-x Þ

2x²-x=9:

il monomio x è passato da un membro all'altro cambiando di segno. Ancora, potremmo trasportare il monomio 2x² da una parte all'altra cambiandolo di segno, ed otterremmo ancora un'equazione equivalente. Insomma

2x²-5=x+4,

2x²=x+9,

2x²-x=9,

-x=9-2x²,

2x²-x-9=0,

sono tutte, in base al I° principio, equazioni equivalenti (di II° grado ad un'incognita, e quindi aventi le stesse soluzioni). A tutti gli effetti è come se si trattasse della stessa equazione, che in questo particolare caso è determinata ed ha due distinte soluzioni:

x₁= (1+

x₂= (1-

Dal I° principio si trae dunque il fondamentale

II° PRINCIPIO DELLE UGUAGLIANZE, o PRINCIPIO DEL TRASPORTO. In un'uguaglianza algebrica A=B, possiamo trasportare un termine da un membro all'altro cambiandolo di segno. Ossia:

A+C=B Û A=B-C.

Il terzo principio è

III° PRINCIPIO DELLE UGUAGLIANZE. In un'uguaglianza algebrica A=B, se moltiplichiamo (o dividiamo) entrambi i membri per lo stesso numero k¹0, otteniamo un'uguaglianza equivalente. Ossia:

A=B Û A k=B k,  k¹

Per risolvere un'equazione di secondo grado, quindi, per prima cosa useremo questi 3 princìpi in modo di ridurci ad un'equazione equivalente a quella data che sia la più semplice possibile. Questa semplificazione si ottiene

trasportando tutti i termini a primo membro;

riducendo eventuali termini simili;

applicando il terzo principio, ove possibile, per lavorare con i numeri più semplici. Alla fine di questo processo di semplificazione ci si trova invariabilmente a disporre di un'espressione del tipo

ax²+bx+c=0

dove a, b, c sono 3 dati numeri reali, detti parametri, ed x rappresenta l'incognita. Per es.,

x²-5=3x²-x-4 Þ x²-5-3x²+x+4=0 Þ -2x²+x-l=0.

Nell'equazione, i parametri sono a=-2, b=1 e c=-l. Insomma, una volta portati tutti i termini nel primo membro e ridotti i termini simili, otteniamo sempre un'espressione in cui da una parte del segno = c'è un trinomio di II° grado nella lettera x, mentre dall'altra c'è 0. Questa si chiama la forma canonica dell'equazione di II° grado.

Vediamo ora come si trovano le (2, o 1, o nessuna) soluzioni di un'equazione di II° grado ad un'incognita ridotta in forma canonica. L'algoritmo è diverso a seconda che

b=0: Equazione pura;

c=0: Equazione spuria;

b¹ Ù c¹0: Equazione completa.

§2. Equazioni pure

In un'equazione pura manca il termine di I° grado (detto anche termine lineare):

ax²+c=0.

La procedura risolutiva è la seguente:

ax²=-c;

x²=-c/a;

x= (-c/a).

Per es.:

3x²-l2=0; 3x²=12; x²=12/3=4; x=

Le soluzioni sono quindi, in questo caso, due: x₁=+2; x₂=-2, e sono uguali ed opposte. Verifichiamo la loro validità:

3(+2)²-l2=0; 3 4-l2=0; 12-l2=0; 0=0, vero!;

3(-2)²-l2=0; 3 4-l2=0; 12-l2=0; 0=0, vero!.

Altro esempio:

4x²+9=0; 4x²=-9; x²=-9/4; x_1,2= (-9/4) impossibile in R

Questa equazione pura non ha nessuna soluzione, perché non esiste in campo reale la radice quadrata di un numero negativo. Possiamo quindi concludere dicendo che un'equazione pura di II° grado ad un'incognita

o ha 2 soluzioni reali, uguali ed opposte;

o è impossibile.

§3. Equazioni spurie

In un'equazione spuria manca il termine noto:

ax²+bx=0.

L'algoritmo risolutivo è:

x(ax+b)=0 (ho raccolto x a fattor comune);

x=0 ax+b=0 (per la legge di annullamento del prodotto);

x₁=0, x₂=-b/a.

Per es.:

3x²+8x=0; x(3x+8)=0; x=0 3x+8=0; x₁=0, x₂=-8/3.

Dunque, un'equazione spuria di II° grado ha sempre 2 soluzioni reali, una delle quali nulla.

§4. Equazioni complete

È il caso più generale e più frequente; nell'equazione completa ci sono tutti i termini, quello di secondo grado, quello lineare e quello noto:

ax²+bx+c=0.

La procedura risolutiva dell'equazione completa di II° grado si trova per la prima volta nel trattato Al kitab mukhtasar fi kisab al giabr wa muqaballah ('Libro sul trasporto cambiando di segno') del matematico persiano Muhammad Ibn Musa Al Qhwarizmi (IX sec. d. C.): la parola araba al giabr che significa trasporto ha dato origine alla parola algebra ed il nome dell'autore alla parola algoritmo. Ecco l'algoritmo:

ax²+bx+c=0; (moltiplichiamo ambo i membri 4a)

4a²x²+4abx+4ac=0; (trasportiamo nel secondo membro 4ac)

4a²x²+4abx=-4ac; (aggiungiamo ad entrambi i membri b²)

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac; (scomponiamo ora il primo membro)

(2ax+b)²=b²-4ac; (estraiamo le due radici algebriche)

2ax+b= (b²-4ac); (trasportiamo il b a secondo membro)

2ax=-b (b²-4ac); (dividiamo ambi i membri per 2a)

R.    x=[-b (b²-4ac)]/2a.

L'algoritmo di Al Qhwarizmi si compone quindi di un insieme ordinato di 7 computi algebrici. Il risultato R. è la celebre formula per determinare le due soluzioni d'un'equazione completa di secondo grado. Naturalmente noi non ripeteremo ogni volta la procedura di Al Qhwarizmi, ma semplicemente useremo la formula

sostituendo ai parametri a, b, c i loro valori numerici.

Quando il parametro b è pari, è più conveniente usare la cosiddetta formula ridotta:

Questa versione è solo apparentemente più complicata: se b è pari, infatti, b/2 è un numero intero e tutti i numeri sono più piccoli. Per es., nell'equazione

x²-4x-5=0;

x_1,2=2 (2²+5)=2 Þ

x₁=5, x₂=-l.

§5. Discussione dell'equazione di II° grado

Dalla formula di Al Qhwarizmi

potrebbe a prima vista sembrare che il segno davanti alla radice garantisca che un'equazione quadratica ha sempre due soluzioni. Ciò non è vero. Consideriamo, ad es., l'equazione

2x²-3x+5=0;

x_1,2=[3 impossibile!

Non esiste infatti la radice reale d'un numero negativo. Pertanto l'equazione 2x²-3x+5=0 è impossibile in campo reale. I matematici preferiscono dire, per motivi che potremo meglio comprendere in IIIª, che l'equazione ha 2 soluzioni complesse coniugate. Per noi comunque, almeno per ora, la locuzione significherà che l'equazione è impossibile in R

Consideriamo questo secondo es.:

4x²-l2x+9=0;

x_1,2=[6 Þ x₁=x₂=3/2.

Stavolta c'è una sola soluzione, 3/2. I matematici preferiscono dire che l'equazione ha 2 soluzioni coincidenti.

Se un'equazione quadratica abbia 2, oppure 1, oppure nessuna soluzione dipende quindi dal segno del numero

D=b²-4ac

che si chiama, per questo motivo, discriminante dell'equazione:

se D>0: l'equazione ha 2 soluzioni reali e distinte;

se D=0: l'equazione ha 2 soluzioni reali e coincidenti;

se D<0: l'equazione ha 2 soluzioni complesse coniugate.

Qualora il discriminante sia D³0, è possibile poi sapere in anticipo il segno delle soluzioni dell'equazione, la loro somma o il loro prodotto, senza doverla risolvere. Vediamo di che cosa si tratta.

§6. Regole di sectiunesio

LA REGOLA DEI SEGNI. Nell'equazione ax²+bx+c=0 (D³0), poiché abbiamo supposto il discriminante non negativo le due soluzioni sono reali. Che segno avranno? Per rispondere, consideriamo attentamente i segni della terna dei parametri (a, b, c), nell'ordine. Se passando da a a b il segno si conserva, diciamo che c'è una permanenza, in caso contrario che c'è una variazione. La stessa cosa osserviamo passando da b a c. Eseguito questo controllo, la regola dei segni di sectiunesio recita:

2 permanenze Þ 2 soluzioni negative;

2 variazioni Þ 2 soluzioni positive;

1 permanenza e 1 variazione Þ 1 soluzione negativa e 1 positiva.

Nell'ultimo caso - aggiunge sectiunesio - è maggiore in valore assoluto quella delle due che viene prima. Esempi:

1. x²-5x+6=0.

Abbiamo D=5²-4 6=25-24=1>0. Þ 2 soluzioni reali e distinte. Per saperne il segno, osserviamo che a=1 e b=-5, quindi una variazione; inoltre b=-5 e c=6, cioè un'altra variazione. Allora sectiunesio ci dice che le due soluzioni saranno entrambe positive. Verifichiamo con la formula

x₁, x₂ = (5 Þ x₁=+2, x₂=+3.

2. x²+7x+10=0.

Abbiamo D=7²-4 10=49-40=9>0. Þ 2 soluzioni reali e distinte. Per saperne il segno, osserviamo che a=1 e b=7, quindi una permanenza; inoltre b=7 e c=10, cioè un'altra permanenza. Allora sectiunesio ci dice che le due soluzioni saranno entrambe negative. Verifichiamo con la formula

x₁, x₂ =(-7 Þ x₁=-2, x₂=-5.

3. x²-x-90=0.

Abbiamo D=(-l)²-4 (-90)=1+360=361>0. Þ 2 soluzioni reali e distinte. Per saperne il segno, osserviamo che a=1 e b=-l, quindi una variazione; inoltre b=-l e c=-90, cioè una permanenza. Allora sectiunesio ci dice che le due soluzioni saranno discordi, anzi, più precisamente, poiché viene prima la variazione sarà maggiore in valore assoluto la positiva. Verifichiamo con la formula

x₁, x₂ =(+1 Þ x₁=+10, x₂=-9.

SOMMA E PRODOTTO DELLE DUE SOLUZIONI.

Nell'equazione ax²+bx+c=0 D³0 le due soluzioni reali sono date dalla formula

x_1,2=(-b D))/2a.

Indichiamo con S la loro somma e con P il loro prodotto, cioè

S=x₁+x₂; P=x₁x₂.

Abbiamo, sostituendo i valori di x₁, x₂ dati dalla formula:

S=(-b+ D)/2a + (-b- D)/2a=(-2b)/2a=-b/a;

P=(-b+ D)/2a (-b- D)/2a=(b²-D))/4a²=(b²-b²+4ac)/4a²=4ac/4a²=c/a.

In definitiva S=-b/a e P=c/a, ossia in un'equazione di secondo grado con discriminante non negativo la somma delle due soluzioni reali è uguale a -b/a, mentre il loro prodotto è uguale a c/a. Verifichiamolo nelle tre equazioni dell'esempio di sopra:

1. x²-5x+6=0. Abbiamo a=1, b=-5 e c=6; quindi

S

P

Infatti, essendo x₁=+2, x₂=+3, si ha S=2+3=5 e P

2. x²+7x+10=0. Abbiamo a=1, b=7 e c=10; quindi

S

P

Infatti, essendo x₁=-2, x₂=-5, si ha S=-2-5=-7 e P

3. x²-x-90=0. Abbiamo a=1, b=-l e c=-90, cioè

S P

Infatti, da x₁=+10, x₂=-9, si ricava che 10-9=1 e 10

§7. Equazioni parametriche

Un'equazione parametrica di secondo grado è un'equazione che, accanto all'incognita x, contiene una o più lettere (k, l,) dette 'parametri', dai cui valori possono dipendere i valori o l'esistenza stessa delle soluzioni dell'equazione. Consideriamo l'equazione

x²-x+5=0

e chiediamoci: questa equazione ha soluzioni reali? se sì, queste sono distinte o coincidenti? di che segno sono? ecc. È evidente che la maniera più diretta per rispondere a tutte queste domande è di risolvere l'equazione con la formula di Al Qhwarizmi

x₁,x₂=(1 (-l9))/2:

quindi l'equazione non ha soluzioni reali. Invece l'equazione

kx²-x+5=0

è molto diversa, perché contiene il parametro k e quindi le risposte alle domande precedenti (esistono soluzioni reali? di che segno sono? ecc.) variano al variare di k. Questo appunto è il significato della parola di etimologia greca 'parametro'='da esso dipende'. Per k=1, per es., l'equazione diventa

x²-x+5=0 (k=1)

che abbiamo già verificato essere impossibile in R. Ma per k=-4, l'equazione diventa

-4x²-x+5=0;    (k=-4)

4x²+x-5=0;

x_1,2=(-l 81)/8=(-l Þ x₁=+1, x₂=-5/4:

e quindi ha due soluzioni reali di segno opposto. Invece, per k=1/20, essa diventa

(1/20)x²-x+5=0;  (k=1/20)

x²-20x+100=0;

x_1,2=10 Þ x₁=x₂=10

e le due soluzioni sono ora reali e coincidenti. Ecc., ecc.

Come possiamo rispondere, in maniera generale, alle domande di prima? Osserviamo intanto che se k=0, l'equazione diventa di primo grado con soluzione fissa x=5. E se k¹0? Cominciamo con la condizione di realtà. Noi sappiamo che le soluzioni di un'equazione di secondo grado sono reali se, e soltanto se, il discriminante non è negativo. Troviamo allora il discriminante:

D=b²-4ac=1-4 k 5=1-20k

Esso dipende, come c'era da aspettarsi, da k. Se cerchiamo per quali valori di k le soluzioni dell'equazione sono reali, dobbiamo studiare per quali valori di k abbiamo D³0, ossia

1-20k ³ (condizione di realtà).

Questa è una disequazione di I° grado nell'incognita k e la sua risoluzione determina l'insieme dei valori del parametro k che rendono reali le soluzioni dell'equazione parametrica di partenza:

-20k³-l; Þ 20k£ Þ k£

Possiamo pertanto inferire che

- per k < 0    ESISTONO 2 SOLUZIONI REALI DISTINTE

- per k = 0   ' 1 SOLUZIONE REALE = 5

- per 0 < k < 1/20    ' 2 SOLUZIONI REALI DISTINTE

- per k = 1/20    ' 2 SOLUZIONI REALI COINCIDENTI

- per k > 1/20 NON ESISTONO SOLUZIONI REALI.

Graficamente:

0.05 k

soluzioni reali    soluzioni complesse

A questo punto, un ulteriore approfondimento va fatto per rispondere alla seconda domanda: quando le soluzioni di x sono reali, di che segno sono? Abbiamo visto che esistono soluzioni reali per kI ¥;1/20]; come possiamo sapere quando queste soluzioni sono positive o negative? Ricordiamo che il prodotto delle due soluzioni in un'equazione quadratica è P=c/a; in questo caso

P=5/k.

La disequazione P>0 ha per soluzioni k>0. Ne possiamo dedurre che

- per k < 0    LE 2 SOLUZIONI SONO DISCORDI DI SEGNO

- per k = 0    ESISTE 1 SOLUZIONE REALE POSITIVA (=5)

- per 0 < k < 0.05 LE 2 SOLUZIONI SONO CONCORDI DI SEGNO

- per k = 0.05   LE 2 SOLUZIONI SONO COINCIDENTI

- per k > 0.05   NON ESISTONO SOLUZIONI REALI.

La somma invece delle soluzioni è S=-b/a; in questo caso

S=1/k;

quindi S>0, quando k>0 (e, al contrario, S<0 per k<0). Ne deduciamo che

- per k<0  2 SOLUZIONI DISCORDI DI CUI E' MAGGIORE IN VALORE ASSOLUTO LA NEGATIVA

- per k=0  ESISTE 1 SOLUZIONE REALE POSITIVA (=5)

- per 0<k<0.05   2 SOLUZIONI POSITIVE

- per k=0.05    2 SOLUZIONI COINCIDENTI POSITIVE (=10)

- per k>0.05    NON ESISTONO SOLUZIONI REALI.

Questo era solo un esempio; ma tutte le equazioni parametriche si risolvono ricorrendo agli stessi teoremi:

- la condizione di realtà: D³

- la regola dei segni di sectiunesio;

- il valore della somma S delle due soluzioni: S=-b/a;

- il valore del loro prodotto P P=c/a.