La matematica finanziaria

La matematica finanziaria è lo studio della matematica applicato negli scambi monetari.

Uno scambio di moneta si verifica quando questo è giudicato conveniente da entrambe le parti. Chi riceve del denaro ha la "convenienza" di poterlo utilizzare o comunque di averlo a disposizione; chi dà il proprio denaro deve ricevere un compenso per essersi privato dei propri soldi. Tale compenso può essere la gratitudine o, come spesso avviene, può essere un'altra somma di denaro. Tale somma prende il nome di interesse.

Le operazioni che si concludono con la concessione di interesse vengono dette "operazioni di investimento". In questo tipo di operazione si ha una capitalizzazione del denaro in quanto il proprietario della somma di denaro (che da ora in avanti chiameremo capitale) ne perde il possesso e la disponibilità per riottenerla nel futuro. Viene detta capitalizzazione perché il capitale aumenta il proprio valore.

Quello che avviene può essere schematizzato come segue:

C M

0 t

Al tempo 0 (il tempo zero corrisponde all'inizio dell'investimento perché è da li che si inizia a contare il tempo per cui il capitale rimarrà investito) si investe un capitale; dopo un certo periodo di tempo (che genericamente chiamiamo t) si ritira una somma di denaro chiamata montante (M) che è maggiore del capitale investito in quanto è uguale al capitale più l'interesse.

Questo esempio è servito per spiegarvi quello che faremo: utilizzeremo la matematica per dare risposte a determinati quesiti quali: che capitale devo investire per accumulare una determinata cifra dopo un certo periodo di tempo? Oppure: se porto in banca la cambiale che ho ricevuto dal mio cliente prima che questa scada quale somma mi verrà accreditata sul conto corrente?

Questi sono alcuni esempi per chiarire il campo che andremo ad analizzare con il nostro studio.

Le operazioni di prestito

Iniziamo a parlare delle operazioni di prestito.

Si ha un'operazione di prestito quando una persona, detta creditore, concede in uso ad un'altra persona, detta debitore, una somma C (capitale) per un certo tempo t (durata del prestito).

Il debitore si obbliga restituire, dopo il tempo t, il capitale ando, una certa somma I (interesse) come compenso per l'uso fatto del capitale C.

Passiamo ora a dare una definizione di interesse. L'interesse è il motivo per cui avviene lo scambio di moneta. Possiamo dire che avviene uno scambio tra una moneta attuale (perché disponibile ora) e una moneta futura (perché disponibile nel futuro). Le definizioni che di seguito trovate dovete farle vostre nel concetto e non nei termini che le compongono, in quanto si può definire l'interesse in tanti modi diversi e non esiste una definizione più corretta dell'altra.

• Interesse I è la somma che il debitore corrisponde al creditore come compenso per l'uso fatto durante il tempo t del capitale C preso a prestito.
• L'interesse è quella somma di denaro che dobbiamo are nel momento in cui riceviamo dei soldi in prestito.
• L'interesse è la somma che ci viene riconosciuta quando ci priviamo dei nostri soldi per un certo periodo di tempo.

La somma del capitale C e dell'interesse I prende il nome di montante M.

M = C + I

Per cui:

I = M - C

E:

C = M - I

Queste sono le relazioni fondamentali dell'interesse in quanto valgono sempre, qualunque sia il regime finanziario (ovvero la legge della matematica finanziaria, il modo) utilizzato per calcolare l'interesse.

Di fronte ad una operazione di prestito per la quale siano stati decisi C e t il problema che si presenta è quello della determinazione del montante M dovuto. In pratica si può procedere in due modi:

a)  si calcola I e poi si ottiene M aggiungendo I a C (sappiamo infatti che M = C + I);

b)  si calcola direttamente M e poi, se interessa, si calcola I sottraendo C da M.

Logicamente quando si calcola l'interesse dobbiamo prendere in considerazione diversi fattori. Uno lo abbiamo già evidenziato: il capitale. Gli altri fattori da considerare sono: il tempo per cui il capitale rimarrà investito e il tasso di interesse che verrà preso in considerazione.

Il tasso di interesse è l'interesse prodotto da un certo capitale per un certo periodo di tempo. Nel caso in cui il capitale considerato sia di 100 Euro, il tasso di interesse è un tasso percentuale.

Nel caso in cui il capitale considerato sia di 1 Euro, il tasso è un tasso unitario.

Spieghiamolo con altri termini:

• il tasso di interesse unitario annuo esprime l'interesse prodotto, ogni anno, per ogni Euro investito.
• il tasso di interesse percentuale annuo esprime l'interesse prodotto, ogni anno, per ogni 100 Euro investiti.

Per esempio vado in banca ed investo 1000 Euro al tasso del 3% annuo. La banca mi sta dicendo che per ogni anno in cui io lascerò il mio capitale investito riceverò 3 Euro ogni 100 Euro (quindi riceverò 30 Euro) ma anche che per ogni anno in cui io lascerò il mio capitale investito riceverò 0,03 Euro ogni Euro (quindi riceverò 30 Euro).

Per esempio, si dice tasso annuo unitario 0,07 per indicare che il capitale di un Euro, dato in prestito per un anno produce un interesse di Euro 0,07.

Ne segue che il montante alla fine dell'anno è :

M = 1 + 0,07 = 1,07.

Il tasso annuo unitario viene indicato col simbolo i.

Utilizzando come capitale di riferimento il capitale di 100 Euro si parla di tasso annuo percentuale il quale viene indicato con la lettera r.

Per esempio, si dice tasso annuo percentuale 7, e si scrive 7%, per indicare che il capitale di 100 Euro, dato in prestito per un anno, produce un interesse di 7 Euro.

Il montante alla fine dell'anno è:

M = 100 + 7 = 107.

Quando si passa dalla considerazione del tasso annuo unitario a quella del tasso annuo percentuale ciò che cambia è semplicemente il capitale sul quale calcolare l'interesse al quale si fa riferimento: dire tasso annuo unitario 0,07 oppure tasso annuo percentuale 7 non fa alcuna differenza ai fini del risultato.

A volte può cambiare il riferimento temporale. Anziché fare riferimento all'anno, si fa riferimento al semestre (tasso semestrale), oppure al quadrimestre (tasso quadrimestrale), oppure al trimestre (tasso trimestrale) o al mese (tasso mensile).

Per esempio si dice tasso unitario semestrale 0,04 per indicare che il capitale di un Euro, impiegato per un semestre, produce l'interesse di Euro 0,04.

Sulla base di quanto detto, si può affermare che:

come unità di capitale si può assumere il capitale di un euro (tasso unitario) oppure il capitale di 100 euro (tasso percentuale);

come unità di tempo si può assumere l'anno (tasso annuo, che può essere unitario o percentuale), il semestre (tasso semestrale, che può essere unitario o percentuale) e così via.

L'interesse semplice

o capitalizzazione semplice

Cosa significa questo lo possiamo spiegare con un esempio numerico:

Ø  Ipotizziamo di investire un capitale di 10.000 per tre anni e ricevere 500 di interesse.

Dire che l'interesse è proporzionale al capitale vuol dire che impiegando il doppio del capitale (20.000) anche l'interesse raddoppia (1.000) oppure investendo un quarto del capitale (2.500) anche l'interesse si riduce ad un quarto (125).

Dire che l'interesse è proporzionale al tempo significa che per ottenere un interesse di 1.500 (il triplo di 500) devo investire il mio capitale di 10.000 per nove anni (il triplo del tempo previsto inizialmente) oppure che se 10.000 producono un interesse di 500 in tre anni stanno producendo un interesse di circa 166 per ogni anno.

Sembra una cosa banale ma questa "proporzionalità" si verifica solo nel caso dell'interesse semplice. Questo capita perché l'interesse viene calcolato sempre sullo stesso importo: il capitale investito.

Molto spesso accade che la durata di un prestito sia frazionaria, ovvero composta da anni, mesi e giorni. In questo caso trasformiamo tutto in termini di anno con la seguente formula:

t = a + m + gg

360

I giorni vengono divisi per 360 perché tutti i mesi dell'anno si considerano formati da trenta giorni e quindi in un anno si contano 360 giorni. Questo si fa perché viene utilizzato l'anno commerciale in quanto tutti i mesi devono essere uguali, sia quelli formati da 28 giorni che quelli formati da 31.

Per esempio un investimento ha la durata di 3 anni, 7 mesi e 20 giorni. Di quei 7 mesi non si sa se è compreso Febbraio o se ci sono 2 o più mesi formati da 31 giorni. Allora t sarà dato da:

3 + 7 + 20

12 360

Considerando una durata qualsiasi, cioè una durata espressa in anni, mesi e giorni, si possono scrivere le seguenti formule generali:

I = C i t

poiché le relazioni fondamentali stabiliscono che

M = C + I

Possiamo sostituire alla I la formula appena enunciata e ottenere:

M = C + C i t

Notiamo che la C è presente due volte nella formula. Possiamo metterla in evidenza ed ottenere:

M = C (1 + i t)

(1 + i t) è il fattore di capitalizzazione semplice. Indica il montante prodotto dal capitale di un Euro. Indica di quanto cresce il capitale nel tempo indicato e ad un determinato tasso. È sempre un numero maggiore o uguale a 1. è pari a 1 nel caso in cui il nostro investimento sia senza rendimento, cioè non ci rende niente, non produce interesse (in questo caso infatti il capitale e il montante sarebbero uguali). È inferiore a 1 nel caso in cui ci trovassimo di fronte ad un investimento in perdita (poiché non affronteremo tale casistica siete invitati a controllare che il valore assunto da 1 + i t sia maggiore di 1).

Di seguito vengono proposti alcuni esercizi svolti.

Il capitale di euro 4200 viene impiegato al tasso i = 0,08, per 3 anni, 7 mesi e 11 giorni.

C = 4200   i = 0,08 a=3 m = 7 g = 11

Si ha:

M = 4200 [1 + 0,08 (3 + 7 + 11 )] = 4200 1,25297 = 5262,47

12 360