Limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito, Limite destro, Limite sinistro, Limite finito di una funzione per x che tende all'in

Limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito

Sia y=f (x) una funzione definita in un intorno completo I del punto c,escluso al più il punto c. Si dice che,per x tendente a c,la funzione y=f(x) ha per limite l e si scrive

Lim f(x)=l    

x→c

se,comunque si scelga un numero positivo ε,arbitrariamente piccolo,si può determinare,in corrispondenza a esso,un intorno completo di c,contenuto in I,tale che per ogni x di tale intorno(escluso al più x = c) si abbia:

| f (x)-l |<ε     

Limite destro

Sia y=f(x) una funzione definita in un intorno destro I del punto c.Si dice che la funzione f(x),per tendente a c dalla destra,cioè per eccesso,ha per limite destro il numero l se,preso ad arbitrio un numero positivo ε,è possibile determinare,in corrispondenza a esso,un intorno destro di c,contenuto in I,per tutti i punti del quale si abbia:

| f (x)-l | <ε   

Limite sinistro

Sia y=f (x) una funzione definita in un intorno sinistro I del punto c.Si dice che la funzione f(x),per x tendente a c dalla sinistra,cioè per difetto,ha per limite sinistro il numero l se,preso ad arbitrio un numero positivo ε,è possibile determinare,in corrispondenza a esso,un intorno sinistro di c,contenuto in I,per tutti i punti del quale si abbia:

| f (x)-l | <ε 

Limite finito di una funzione per x che tende all'infinito

Sia y=f (x) una funzione definita in un intorno I di infinito.Si dice che,per x tendente all'infinito,la funzione y=f (x) ha per limite l e si scrive

Lim f(x)=l

x→∞

Se comunque si scelga un numero positivo ε,arbitrariamente piccolo,si può determinare,in corrispondenza a esso,un intorno di infinito,contenuto in I,tale che,per ogni x di tale intorno,si abbia:

| f(x)-l |<ε

Casi particolari

Si dice che,per x tendente a più infinito,la funzione f(x),definita in un intorno I di +∞,ha per limite l,e si scrive

Lim f(x)=l

Se comunque sia fissato un numero positivo ε,arbitrariamente piccolo,si può determinare,in corrispondenza a esso,un intorno di più infinito,contenuto in I,tale che,per ogni x di tale intorno,si abbia

| f(x)-l |<ε

Si dice che,per x tendente a meno infinito,la funzione f(x),definita in un intorno I di -∞,ha per limite l,e si scrive

Lim f(x)=l

x→ -∞

se comunque si scelga un numero positivo ε,arbitrariamente piccolo,si può determinare,in corrispondenza a esso,un intorno di meno infinito,contenuto in I,tale che,per ogni x di tale intorno,si abbia:

| f(x)-l |<ε

Limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito

Sia y=f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto c,con esclusione al più del punto c.Si dice che,per x tendente a c,la funzione y=f(x) ha per limite infinito e si scrive

Lim f(x)=∞

x→c

se comunque sia fissato un numero positivo M,arbitrariamente grande,si può determinare,in corrispondenza a esso,un intorno completo di c,contenuto in I,tale che,per ogni x di tale intorno,escluso al più x=c si abbia

| f(x) |>M

Limite infinito di una funzione per x che tende all'infinito

Sia y=f(x) una funzione definita in un intorno I di infinito.Si dice che,per x tendente all'infinito,la funzione y=f(x) ha per limite infinito e si scrive:

Lim=∞

x→∞

se comunque si scelga un numero positivo M,arbitrariamente grande,si può determinare,in corrispondenza a esso,un intorno di infinito,contenuto in I,tale che,per ogni x di tale intorno,si abbia:

| f(x) |>M