SCALARI E VETTORI

Alcune osservabili fisiche (per esempio, la massa di un oggetto, la posizione di un punto) possono essere caratterizzate matematicamente mediante un numero. Tali osservabili sono dette scalari. Esistono tuttavia osservabili per le quali un solo numero non è sufficiente per dare una descrizione completa. Ad esempio, lo spostamento di un punto è un ente geometrico che viene compiutamente caratterizzato se ne vengono assegnate non solo la lunghezza ma anche la direzione e il verso. Per questo tipo di osservabili non valgono le regole dell'algebra ordinaria (algebra dei numeri): occorre introdurre nuove regole di calcolo. Gli spostamenti e tutte le osservabili che, come questi, possono essere rappresentate da segmenti orientati, e per le quali abbia senso lo stesso tipo di algebra utile per gli spostamenti, sono dette vettori. Esse vengono indicate mediante lettere, maiuscole o minuscole, in grassetto ( es.: A, a) o sottolineate (A, a) o, ancora, disegnando una freccetta sopra la lettera (). Due segmenti orientati che hanno uguale lunghezza, direzione e verso si dicono equipollenti: questo ci permette di "trasportare" vettori parallelamente a se' stessi per eseguire graficamente le operazioni che stiamo per definire, senza cambiarne il risultato.

Vediamo ora come sono definite le operazioni fra vettori.

SOMMA DI VETTORI

Dati due vettori A e B come in . 1, definiamo somma A+B=C il vettore risultante C ottenuto tracciando una freccia con la coda nella coda di A e la punta nella punta di B.

Per fare ciò se i due vettori non sono consecutivi devo prima riportare il vettore B parallelamente a se stesso in modo che la sua coda coincida con la punta di A

. 2

Possiamo ora definire anche la differenza di due vettori: questa equivale alla somma

dei vettori A e -B (vedi . 3).

. 3

Questa regola di somma dei vettori è detta "punta-coda".

Un'altra regola utile, che ovviamente dà lo stesso risultato, è la regola del parallelogramma: si tracciano i vettori A e B con le origini coincidenti. Si costruisce il parallelogramma di lati êA ê e êB ê : la diagonale uscente dall'origine comune O rappresenta il vettore somma. La differenza è il vettore corrispondente all'altra diagonale, come mostra la ura 3, con verso opportuno a seconda che l'operazione da eseguire sia A-B o B-A .

La somma così definita è commutativa e associativa.

Definiamo quindi vettori tutti gli enti matematici rappresentabili mediante "frecce" che obbediscono alla regola di somma sopra definita.

Se poi vogliamo calcolare la lunghezza del vettore somma e gli angoli formati tra i vettori A, B e C , basterà ricorrere alle regole della trigonometria (vedi TRIGONOMETRIA) .

PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE

Se pensiamo, ad esempio, di "moltiplicare per 2 un vettore", ci immaginiamo un vettore di lunghezza doppia e direzione e verso identici al vettore di partenza: questo è ciò che si intende per moltiplicazione di un vettore per uno scalare (numero!). Dato dunque un vettore A e uno scalare k, il vettore S = kA risulta avere:

a)  modulo kA

b)  direzione identica alla direzione di A

c)  verso concorde con A se k >0 e opposto ad A se k<0.

COMPONENTI CARTESIANE DI UN VETTORE

Limitiamoci per ora al caso piano: il caso tridimensionale verrà trattato in seguito come ovvia estensione di questo.

Consideriamo un sistema di assi sectiunesiani ortogonali Oxy (vedi ura 4) e un vettore . Le componenti del vettore rispetto al sistema di riferimento considerato sono le proiezioni del punto A: A_x ed A_y sui due assi sectiunesiani. Possiamo considerare dunque che il vettore sia dato dalla somma ( con la regola del parallelogramma) di due vettori paralleli ai due assi. Il vettore può essere considerato il risultato del prodotto di uno scalare di lunghezza pari al modulo di per un vettore () di lunghezza unitaria, direzione coincidente e verso concorde con l'asse x . Il vettore è chiamato versore dell'asse x. Analogamente, il vettore avrà lunghezza unitaria, direzione coincidente e verso concorde con l'asse y. Dunque possiamo scrivere: .

L'estensione al caso tridimensionale permette di scrivere il vettore A nella forma: (. 5).

Facendo uso di questa rappresentazione, la regola di somma di vettori può essere data anche nella seguente forma:

Conseguenze:

a)  tutti i vettori paralleli ad saranno del tipo: con k ¹

b)  tutti i vettori perpendicolari ad saranno del tipo: con k ¹ 0 (avranno cioè uguale modulo ma saranno ruotati di + p

Passiamo ora a definire altre operazioni fra vettori: il prodotto scalare e il prodotto vettore.

PRODOTTO SCALARE

Dati due vettori A e B espressi mediante le loro componenti sectiunesiane, definiamo prodotto scalare dei vettori e e lo indichiamo col simbolo lo scalare

Un altro modo possibile per calcolare il prodotto scalare di due vettori, quando se ne conoscano i moduli e l'angolo a formato tra essi è il seguente:

Dalla ura 6 si può notare che rappresenta la proiezione di su (o viceversa, la proiezione di su ). La definizione data si applica anche a vettori liberi, l'angolo a è quello che essi formano quando vengono trasportati parallelamente a sé stessi in modo da avere lo stesso punto iniziale. 

Quindi il prodotto scalare è il prodotto della lunghezza di uno dei due vettori per la proiezione dell'altro sulla retta del primo.

Conseguenze della definizione di prodotto scalare:

a)  il prodotto del vettore per se stesso è:

b)  l'angolo tra due vettori è dato da:

c)  il versore associato ad è dato da:

Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà:

a)  e' commutativo : .

b)  e' nullo se i due vettori sono perpendicolari fra loro (cosa=0), se o sono nulli = 0 (anche se l'angolo a in questo caso non è definito).

c)  e' distributivo rispetto alla somma:

d) 

PRODOTTO VETTORE

Dati due vettori e formanti un angolo a, definiamo prodotto vettore di e e lo indichiamo col simbolo il vettore direzione di perpendicolare al piano contenente e , e verso come mostrato in ura 7: se e appartengono al piano xy di un sistema di riferimento sectiunesiano destrorso, è diretto lungo z : positivo se ruotando fino a sovrapporlo a percorrendo l'angolo di rotazione minimo, il verso di rotazione è antiorario, negativo in caso contrario.

Se i vettori sono dati mediante le loro componenti sectiunesiane, il prodotto vettore può essere definito anche come:

questa espressione coincide col risultato del calcolo del determinante della matrice così costruita:

Il prodotto vettore gode delle seguenti proprietà:

a)  e' anticommutativo:

b)  e' nullo quando è parallelo a (a p, quindi sina

c)  e' distributivo rispetto alla somma:

d) 

Inoltre possiamo calcolare il "doppio prodotto vettore" come: