DEFINIZIONE SULLA SERIE DI FOURIER

Data una funzione periodica di periodo 2p (2T=2p), si vuole trovare una serie di funzioni trigonometriche che abbia come somma la funzione data.

FORMULE DI FOURIER

f(x) =

a₀= dx

a_n=dx

b_n = dx

TEOREMA DI DIRICHLET:

La funzione (x) per essere risolta con il metodo di Fourier deve sottostare ai vincoli del teorema di Dirichlet:

periodica: la funzione è periodica quando si ripete con una stessa ampiezza  e quando non la funzione non è periodica la si cerca di rende periodica;

continua: si dice che la funzione è continua se il limite con x che tende a x₀ da sinistra  (x₀^-) della funzione è uguale al limite con x che tende a x₀ da destra (x₀⁺) della funzione (Lim (x) (Lim (x)

x x₀^- x x₀⁺ )

continua a tratti: si dice che la funzione è continua a tratti se il limite con x che tende a x₀ da sinistra (x₀^-) della funzione è diverso al limite con x che tende a x₀ da destra (x₀⁺) della funzione (Lim (x) ¹ (Lim (x)

x x₀^- x x₀⁺ )

derivabile: si dice che la funzione è derivabile se la derivata sinistra e quella destra sono uguali, cioè in ogni punto;

derivabile a tratti: si dice che la funzione è derivabile a tratti se in un numero finito di punti può essere derivabile, purché nella derivata di sinistra e di destra siano derivabili;

Alcuni esempi che chiariranno il significato di funzioni periodiche, continue,continue a tratti, derivabili, derivabili a tratti.

1) funzione periodica, ma continua a tratti:

y

1

-p p

o x

-l

2) funzione continua:

1 y

-p -p p/2 x

o

-l

3) funzione derivabile:

Y   1

-p p

-p/2 o   p X

-l

4) funzione continua e derivabile a tratti tranne nei punti dell'origine degli assi e nei punti angolosi.

p p

y

-p x

o

p p 2p

FUNZIONE PARI E FUNZIONE DISPARI

Una funzione può essere:

a) pari: una funzione si dice pari quando è simmetrica rispetto all'asse delle y (x) = (-x) e gli a_n si annullano.

y

x

o

b)    dispari:Una funzione si dice dispari quando è simmetrica rispetto all'origine  (x) = - (-x) e gli b_n si annullano.

y

p

-l 1 x

-p

c) Oppure la funzione non è ne pari e ne dispari e quindi sono presenti tutti i b_n e gli a_n.

Le funzioni sia quando è pari che quando è dispari si prende si prende il semiperiodo e lo si raddoppia (Es: b_n =dx b_n =

DEFINIZIONE D'ARMONICA FONDAMENTALE

L'armonica fondamentale è la prima armonica che si trova dalla serie di Fourier.

APPENDICE:

INTEGRALI

Il risultato che si ottiene dall' integrale si chiama primitiva.

INTEGRALI DEFINITI

dx = F(b)-F(a)

Gli estremi che si trovano in un' integrale si chiamano estremi d'integrazione.  

INTEGRALI INDEFINITI

INTEGRAZIONE PER PARTI:

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI

dx = dx

FORMULE DI PROSTAFERESI

FORMULE DI WERNER DA PRODOTTO A SOMMA