° Teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolociascun cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Hp. ABC / BAC =90°; H e BC; AH BC; Th. BC:AB=AB:BH

DIMOSTRAZIONE

considero ABH e ABC; essi hanno:

ABC in comune, AHB = BAC =90° ABH ABC BC:AB=AB:BH

2°Teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni die cateti sull'ipotenusa

Hp. ABC/ BAC=90°; H e BC; AH BC Th. BH:AH=AH:HC

DIMOSTRAZIONE

Cconsidero ABH e HAC; essi hanno:

ACB in comune, AHC=BAC=90°   ABC AHC ABH ABC,AHC ABC ABH AHC

BH:AH=AH:HC

TEOREMA. Se 2 corde di una circonferenza si intersecano i segmenti dell'una sono i medi ed i segmenti dell'altra sono gli estremi di una proporzione.

Hp. Circonferenza di centro o e raggio r; ABCD e AB CD=P Th. CP:BP=AP:DP

DIMOSTRAZIONE

Considero APC e PBD essi hanno:

CPA =PBD (opposti al vertice)

CAP = BDP (insistono sull'arco CB)

APC DBP (I criterio di similitudine) CP:BP=AP:DP

TEOREMA. Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano2 secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, l'altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione.

Hp. Circonferenza di centro o e raggio r; P e C ( ); B e , PB =A; D e , PD =C

Th. PD:PB=PA:PC

Considero BCP e PAD essi hanno:

bp BPD in comune

PDA=PBC(insistono su AC) PBC PAD PD:PB=PA:PC

TEOREMA.. Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una secante ed una tangente il segmento tangente è medio proporzionale fra l'intera secante e la sua parte esterna.

Hp. Circonferenza centro o raggio r Q e , PQ tangente B e , PB =A Th. PB:PQ=PQ:PA

DIMOSTRAZIONE consiedero PAQ e QBA; essi hanno:

BPQin comune

PBQ PQA(insistono su AQ) BAQ PAQ PB:PQ=PQ:PA

TEOREMA INVERSO DI TALETE. Hp. r,s (2rette), A A',B B',C C'; A,A'e a;B,B'e b;C,C'e c AB:BA=A'B':B'C' c//a c//b

c//a c//b CP//a//b AB:BC=A'B':B'P

AB:BC=A'B':B'C' P= C (IV proporzionale) c//a//b

TEOREMA. Hp. A'=W _o,k (A); B'=W _o,k (B) Th. A'B'//AB A'B'=|k|

DIMOSTRAZIONE 1°caso>0(2) poichè A' _o,k (A)(HP)    OA'/OA=k B'=W _o,k (B)(HP) OB'/OB=k OA'/OA=OB'/OB AB//A'B'(INV TAL) BD//OA(costruzione) considero OA'B' A'B'/A'D=OB'/OB OB'/0B=k considero(A'DBA)/A'D AB A'B'/AB=k

2°caso<0 (-2) A'=W _o,k (A) (hp) OA'/OA=|k| B'=W _o,k (B) (Hp)OB'/OB=|k| OA'/OA=OB'/OB considero AA',BB'; OA'/OA=OB'/OB

AA'//BB'