Trasformazione secondo Laplace

Trasformazione secondo Laplace

Sia s = s + jw, si dice trasformata di Laplace della funzione f(t), l'integrale, quando esiste,

Esiste uno stratto legame fra la trasformazione secondo Laplace e quella secondo Fourier, ovvero

Nella trasformazione di Laplace è molto importante la cosiddetta "trasformata unilatera", che vale solo per funzioni ed è definita come:

che può essere interpretata in due modi:

, tenendo conto delle condizioni iniziali di un problema identificato dalla funzione;

, per lo studio esclusivo del transitorio.

E' utile vedere il quale dominio una funzione è trasformabile secondo Laplace. Si è visto come le trasformate, di Fourier e di Laplace siano in relazione fra loro, quindi è possibile dire che le trasformata di Laplace esiste solo in una regione dove e^-stf(t) è trasformabile secondo Fourier. Questa regione è una striscia verticale aperta, un semipiano aperto o l'intero piano complesso s.

DIM.:

Si devono trovare i valori di s per cui si ha

Si distinguono così due casi:

1) t > 0

Si supponga che esista s tale che

La tesi è che s > s valga

Poichè s s > 0, t > 0, e^{-(s s1)t} < 1

Sia s_1f = inf

Allora la tesi è verificata s > s_1f, pertanto nella regione individuata da Re(s) > s_1f

2) t < 0

Si supponga esiste s /

La tesi è che s < s valga

La dimostrazione è del tutto analoga alla precedente e si arriva a definire

s_2f = sup

Si individua in tale modo una regione Re(s) < s_2f

Componendo entrambi i risultati, affinchè l'integrale esista sull'intera retta reale, si definisce una nuova regione come dom_L F(s) =

Si possono osservare due casi particolari:

1) Se la f(t) è unilatera, allora s_2f ¥, quindi il dominio della trasformata di Laplace è un semipiano;

2) Nel caso di funzioni a supporto limitato, come per il ragionamento precedente, le due s vanno rispettivamente a -¥ e +¥, quindi il dominio è l'intero piano s.

All'interno del dominio così definito è possibile applicare le proprietà trovate per la trasformata di Fourier

Condizione di Cauchy-Riemann

Si dice che L[f(t)] = F(s) è analitica sIdom_L F(s), in quanto vale la condizione

DIM.:

, ciò è valido per la definizione del dominio

, come sopra.

Uguagliando si ottiene la tesi.

Formula per l'antitrasformazione secondo Laplace

Data una funzione analitica F(s), sia [s_1f s_2f] l'intervallo sull'asse s per cui F(s) è analitica. Si consideri ora una s tale che s I s_1f s_2f]. Nel punto s = s + jw vale

, quindi F(s) così calcolata è definita su una retta verticale passante per ss₀ e parallela ad w. Se si antitrasforma secondo Fourier si ottiene:

tramite il cambiamento di variabile s = s + jw, ds = jdw w ¥ dw = (1 / j)ds, jw = s - s e gli estremi di integrazione diventano s - j¥ e s + j¥, per cui

, da cui

Condizione per l'esistenza dell'integrale di variabile complessa definito precedentemente è che , in cui . Questo integrale, che fornisce l'antitrasformata di Laplace, non dipende dalla scelta fatta di s . la retta passante per s e parallela all'asse w si chiama cammino di Bronwich.

Si consideri ora una F(s) = L[f(t)], che sia definita in una striscia verticale tale che 0I s_1f s_2f]. Si osserva che la trasformata di Fourier di f(t) si ottiene da F(s) come , e si tratta di una funzione.

Nel caso in cui 0IFr(dom_LF(s)), si ottine una F(w che è una distribuzione con un limite nel senso delle distribuzioni, ovvero .

Proprietà della trasformata di Laplace

1) Linearità. Il dominio della trasformata ottenuta è l'intersezione dei dominii precedenti;

2) Cambiameno di scala. Il dominio della trasformata ottenuta è il prodotto |a|dom_LF(s);

3) Traslazione nel tempo. Il dominio non varia;

4) Modulazione nel tempo. Al dominio precedente si somma s₀;

5) Derivazione nel tempo. Il dominio è inalterato;

6) Derivazione complessa. Il dominio è inalterato.

Per il prodotto di convoluzione valgono le stesse considerazioni fatte per la trasformata di Fourier.

Considerazioni sulla trasformata di Laplace unilatera

Sia f(t) una funzione tale che f(t)IO_{t ¥}(e^at), allora F_lu(s) esite ed è limitata s > s > a

DIM.:

Per s ¹ a si ha

Allora s > a e s > s si ha dom_LF(s) =

Se a = 0, che equivale a dire che f(t) è limitata, si ha che il dominio è il semipiano della parte reale di s positiva.

Trasformata di Laplace di una funzione periodica di periodo T

, in cui

Una tale funzione si dice meromorfa, ovvero ha infiniti poli, che sono zeri di ordine (1 - e^-sT).

I poli di F(s) sono in linea di principio sull'asse immaginario (potrebbero essere compensati dagli zeri di F₀(s) che è una funzione analitica intera, essendo trasformata di laplace di una funzione a supporto limitato). Se i poli non sono compensati dagli zeri, sono poli di I ordine.

Trasformata di Laplace di distribuzioni

La definizione è la stessa delle trasformate di funzioni, lo stesso vale per il loro dominio.

Sia f(t)ID'. Allora L ha un dominio costituito da una striscia verticale, piano o semipiano, e all'interno di questo la trasformata di Laplace è analitica.

DIM.:

La dimostrazione è analoga a quella fatta per le trasformate di funzioni

1) t > 0

Supponiamo esista s tale che e^-s1tf(t)IS

La tesi è che s > s e^-stf(t)IS

e^-stf(t) = e^{-(s s1)t}e^-s1tf(t), in cui il primo fattore del secondo membro è un esponenziale minore di 1, e il secondo fattore appartiene a S

Sia s_1f = inf, allora la trasformata di Fourier esiste s > s_1f

2) t < 0

La dimostrazione è analoga.

Dal secondo punto si osserva che F è una funzione continua e derivabile rispetto a s, e che

D'altro canto  è una distribuzione e come tale derivabile rispetto ad w

F'(w L

da cui, uguagliando, la tesi.

Sia F(s) una trasformata di Laplace: si dice che questa è di ordine esponenziale a_F se e solo se esiste una funzione G(s) limitata in 0 tale per cui valga l'equivalenza

Si dice ascissa del fronte di f(t) il più piccolo valore delle ascisse del supporto di f(t), tale valore si indica con t_f.

Teorema

L'indice di crescita esponenziale della trasformata di Laplace è pari all'ascissa del fronte cambiata di segno.

Teorema

Sia F(s) una funzione analitica di s = s + jw, allora condizione necessaria e sufficiente affinchè F(s) sia la trasformata di Laplace di una funzione o di una distribuzione è che, considerandola come funzione di w, essa sia a crescita lenta in w

DIM.:

Se L=F(s)=F(s + jw), allora f(t) è a crescita in w

Se invece F(s + jw) è a crescita in w, allora s Idom_L f(t) = e ^s0tF^-l, cioè esiste l'antitrasformata di Fourier che, moltiplicata per l'esponenziale, fornisce f(t).