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B

			D
	B

	A		C

Due segmenti orientati sono equipollenti se hanno lunghezza nulla oppure se hanno lunghezza, direzione e verso uguali.

Una classe di equipollenza è costituita da tutti e soli i segmenti orientati equipollenti ad un altro segmento.

AB, CD della ura sopra appartengono alla stessa classe e quindi uno di essi può essere scelti come rappresentante della classe.

Vettori liberi ed applicati, cursori

DEF. Si dice vettore libero ogni classe di equipollenza di segmenti orientati nello spazio.

DEF. Il rappresentante di un vettore u si dice vettore u applicato in A; si dice che A è il punto di applicazione di u e che la retta passante per A e parallela ad u è la retta d'azione di u. Il vettore applicato in A si indica con (u, A).

Se si considerano equipollenti i vettori (u, P) quando P varia su una retta r parallela ad u, si ottiene il concetto di cursore. 

			URA 3

Con riferimento alla ura 3, si ha:

a)  i tre segmenti orientati AB, CD, EF rappresentano lo stesso vettore libero u;

b)  i segmenti orientati AB, CD, EF sono tre vettori applicati (u, A), (u, C), (u, E) fra loro distinti;

c)  i due segmenti orientati AB, CD sono rappresentati dello stesso cursore (u,r) mentre EF non è rappresentante di tale cursore.

Modulo, direzione e verso di un vettore libero.

La classe di equipollenza costituita da tutti i segmenti di lunghezza nulla si dice vettore nullo e si indica con 0. un vettore non nullo u è individuato dalla direzione, dal verso e dalla lunghezza detti direzione, verso e modulo di u. Il modulo di u si indica con . Il vettore nullo ha modulo 0, direzione e verso indeterminati. Il vettore di modulo 1 si chiama versore; si dice versore di un vettore u (non nullo) e si indica con vers u il vettore avente il verso di u e modulo 1.

Somma di vettori.

L'operazione di somma di vettori è la legge che associa ad ogni coppia di vettori (u, v)il vettore, che si dice somma di u e v e si indica con u+v, così definito: scelti come rappresentanti di u e v i segmenti orientati AB e BC rispettivamente, il segmento orientato AC rappresenta u+v.

	C

		u+v
				v

Regola del parallelogramma

Scelti come rappresentanti  di u e v i segmenti orientati AB, AC rispettivamente, si costruisce il parallelogramma ABCD; il segmento orientato AD rappresenta u+v.

Proprietà.

I)       commutativa:

II)     associativa:

III)      il vettore nullo è l'elemento neutro rispetto alla somma:

IV)      esiste, , uno e un solo vettore, che si dice opposto ad u e si indica con -u, tale che .

È facile verificare che

Prodotto di un numero reale per un vettore.

L'operazione di prodotto di un numero reale per un vettore è una legge che associa ad ogni coppia , ove è un numero reale ed u un vettore, il vettore, che si indica con e si dice prodotto di per u così definito:

a)  se ;

b)  se :

a.   la direzione di coincide con quella di u;

b.  il verso di è concorde con quello di u se , discorde se ;

c.   il modulo di è il prodotto del valore assoluto di per il modulo di u: .

Proprietà.

I)  ;

II)   

III)  

IV)  

Dipendenza lineare.

Siano n numeri reali ed n vettori; il vettore e si dice combinazione lineare.

I vettori si dicono lin4earmente indipendenti se l'unica loro combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella è quella con coefficienti tutti nulli.

I vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno (almeno) di essi è esprimibile come combinazione lineare dei rimanti.

Parallelismo e comarità tra vettori.

Due o più vettori non nulli si dicono paralleli se hanno la stessa direzione.

Tre o più vettori si dicono comari se hanno direzioni parallela allo stesso piano.

Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono paralleli.

Tre vettori  sono linearmente dipendenti se e solo se sono comari.

Quattro vettori sono sempre linearmente dipendenti.

Base. Componenti.

Si dice base di una qualsiasi terna di vettori linearmente indipendenti. Assegnata una base di , che indichiamo , risulta che ogni vettore u di è esprimibile in modo unico come combinazione lineare di : .

I numeri si dicono le componenti di u rispetto alla base B.

Valgono le stesse proprietà dei vettori.

Basi ortogonali.

DEF: Angolo di due vettori non nulli u, v è l'angolo convesso di due loro rappresentanti . La misura di tale angolo è pertanto soggetta alle limitazioni .

DEF: La terna di vettori si dice positiva (ovvero negativa) se la più piccola rotazione del piano u,v che sovrappone u a v è visto dal semispazio individuato da w in senso antiorario (ovvero orario).

DEF: Una base di vettori dello spazio si dice ortonormale se è costituita da tre versori a due a due ortogonali. ½ sono basi ortonormali positive e negative. Una base ortonormale positiva verrà indicata nel seguito con la notazione .

Il prodotto scalare.

Il prodotto scalare è una legge che associa ad ogni coppia di vettori u, v un numero reale e si indica con il simbolo così definito:

a)  se almeno uno dei vettori u, v è nullo si pone

b)  se u, v sono non nulli    .

Si ha pertanto che il prodotto scalare  dei due vettori è zero o che .

Se u=v segue e quindi .

il prodotto scalare gode delle proprietà: commutativa, di omogeneità, distributiva.

Il prodotto vettoriale.

Il prodotto vettoriale è una legge che associa ad ogni coppia di vettori u, v un vettore   così definito:

a)  se u, v sono paralleli:   ;

b)  se u e v non sono paralleli:

a.   è ortogonali sia a u che a v;

b.  il verso di è tale che la terna u, v, sia positiva (regola della mano destra)

c.   il modulo  è dato da: