Speranza matematica - Valore atteso - Teorema del limite centrale o della convergenza stocastica

giovedì 7 gennaio 1999

Speranza matematica

Valore atteso

E (x) media = a x m

n

Varianza attesa

devianza

V (x) = a (x-m s a x² - [(ax)²/n] a x² - a x ² = E (x²) - (E x)²

n n n n

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valore atteso di x² valore atteso di x

La varianza è la differenza tra il valore atteso del quadrato dei valori e il valore atteso dei valori.

N K N = n° degli elementi dell'universo K = n° degli elementi del campione

Campionamenti con rimpiazzo.

Se ho un universo di N elementi, quanti campioni di K elementi possono essere fatti? N

K

Ognuno di questi universi ha una sua media.

Tutte queste medie costituiscono un universo universo delle medie campionarie

Questo universo delle medie campionarie ha una sua media e una sua varianza.

Somma campionaria

Poniamo che N = n

K

Sn = x₁ + x₂+ . + x_n

Somma di un certo numero di variabili che estraggo dall'universo. Ognuna di queste variabili può essere rappresentativa di uno dei tanti campioni che posso tirare fuori.

Qual è il valore atteso della somma campionaria?

E (Sn) = E (x₁) + E (x₂) + . + E (x_n) = n E (x_i)

Perché non divido Sn per n? perché n nel caso di Sn è uguale ad 1, quindi in realtà divido, ma ciò non provoca nessun cambiamento.

V (Sn) = n * V (x_i)

varianza attesa

Si moltiplica per n perché, essendo indifferente qual è x₁, x₂, . ed essendo tutti elementi tratti a caso dallo stesso universo, assumo che ognuno di questi ha come valore atteso la media dell'universo.

Qual è il valore atteso delle medie campionarie? Qual è la media di questo universo di medie?

E (m_M) = E a x_i = E 1 a x_i  = 1 E (a x_i) = 1 * n E (x_i) = m

n n n n

La media delle medie campionarie è uguale alla media dell'universo.

Una statistica è un predittore equilibrato del parametro dell'universo quando il suo valore atteso è uguale al parametro che stiamo considerando.

Se E (m_M m T la media del campione è un predittore equilibrato della media dell'universo.

Teorema del limite centrale o della convergenza stocastica

Dato un universo di medie campionarie costituita da campioni di grandezza n, questo universo, indipendentemente dalla distribuzione dell'universo di origine, tende a distribuirsi normalmente e la sua distribuzione converge verso la normalità tanto più rapidamente quanto più grande è il numero degli elementi del campione.

Se noi abbiamo a che fare con medie campionarie, possiamo trattarle come membri della distribuzione normale.

V (m_M) = V 1 a x_i  = 1 V (a x_i) = 1 * n V (a x_i) = 1 V (a xi) = s

n n² n² n n

La varianza delle medie campionarie è uguale alla varianza dell'universo diviso la grandezza dei campioni.

L'universo delle medie campionarie ha media uguale alla media dell'universo di origine e varianza uguale alla varianza dell'universo di origine.

Varianza s _m s s_m s errore standard della media

n n

Noi possiamo calcolare per ogni media campionaria il valore del punto z corrispondente.

z_m = M - m

s_m

Possiamo attribuire ad ogni m il valore di probabilità di appartenenza dell'universo.