LA MATEMATICA DEL MONDO ISLAMICO

LA MATEMATICA DEL MONDO ISLAMICO

Gli Arabi, ovvero i matematici del mondo islamico che vissero tra il nono e il quindicesimo secolo, non furono semplici traduttori degli scritti greci di matematica, ma, come dimostrano studi recenti, elaborarono molte parti della matematica che poi rive in Europa tra il Cinquecento e il Settecento.
Sino a tempi recenti la maggior parte degli storici della matematica ha continuato a rifiutare l'ipotesi di qualsiasi contributo originale del mondo islamico allo sviluppo della matematica sia omettendo di riportare le loro scoperte sia accettando quasi acriticamente l'opinione del filosofo della scienza Pierre Maurice Duhem per cui la scienza araba non avrebbe fatto altro che riprodurre quanto le era pervenuto dalla traduzione dei matematici dell'antica Grecia e consegnarlo ai matematici europei. In questo modo, il cammino della scienza, in particolare della matematica, si sarebbe interrotto per circa 1000 anni, per poi riprendere dal punto in cui i Greci l'avevano lasciata.

Oggi, particolarmente grazie agli studi di R. Rashed (Lo sviluppo della matematica araba, The development of Arabic Mathematics, Londra 1994), sappiamo che le cose stanno in modo ben diverso. In realtà, la matematica moderna somiglia enormemente più a quella araba che non a quella greca. Tuttavia, ancora nell'anno 2000, risulta molto difficile modificare le opinioni correnti, riportate nei testi scolastici e nelle enciclopedie.
Se è vero che gran parte degli sviluppi della matematica che si ebbero in Occidente tra il Cinquecento e il Settecento furono dovuti a matematici europei di quel periodo, è altrettanto vero che alcuni risultati fondamentali erano già stati scoperti da matematici del mondo islamico molti secoli primi.

Ma chi sono questi matematici 'arabi' e quali sono le scoperte che segnarono un taglio netto con la matematica greca?
Esaminiamo qui di seguito solo alcuni dei ritrovati della cosiddetta matematica araba che sarebbero stati poi riscoperti in Europa diversi secoli dopo. Ovviamente è necessario precisare che quando si parla di matematica araba si intende matematica del mondo islamico: la precisazione è doverosa perché molti dei matematici più famosi, come il cantore del vino Omar Kayyam, non furono arabi ma iraniani. D'altra parte anche il termine matematica islamica è deviante, perché altrimenti si dovrebbe parlare di matematica cattolica o di matematica protestante, che è una palese assurdità poiché la matematica non è un prodotto religioso. Detto ciò, per semplicità potremo anche accettare e utilizzare l'uso del termine matematica araba.
La base degli sviluppi originali della matematica del mondo arabo furono posti sotto il quinto califfo abbaside Harun al-Rashid, che iniziò il suo regno nel 786 a Damasco, promosse la nascita di scuole, la diffusione delle conosce matematiche degli Indiani e la traduzione dei testi scientifici greci. Nel corso del suo regno al-Hajjaj tradusse gli Elementi di Euclide, il testo di geometria su cui tutti abbiamo studiato. Suo lio, al-Ma'mun, sesto califfo abbaside, che stabilì in Baghdad la capitale del regno, rese questa città non solo la sede dell'opera di traduzione, ma anche il più rinomato centro scientifico mondiale. Fu il centro in cui brillarono al-Kindi (nato nell'801), i tre fratelli Banu Musa e il famosissimo traduttore Hunayn ibn Ishaq. Furono tradotte tutte le opere di matematica, di ottica e di fisica di Euclide. Di Archimede furono tradotte solo due opere: La sfera e il cilindro e La misurazione del cerchio, ma furono sufficienti a stimolare innumerevoli ricerche originali dal sec. IX al sec. XV. Durante il regno di al-Ma'mun, Muhammad ibn Musa al-Khuwarizmi (morto dopo l'846) scrisse il trattato, che diede origine a una nuova scienza (i termini algebra e algoritmo derivano appunto dal nome del matematico islamico). Fu tradotta la fondamentale opera di Apollonio di Perge sulle coniche, fu tradotta l'Arithmetica di Diofanto (la stessa opera sui cui margini Pierre de Fermat scrisse di avere dimostrato il suo famoso ultimo teorema) e il trattato di geometria sferica (Spherica) di Menelao d'Alessandria. Furono tradotti anche i testi di numerosi altri matematici, quali il trattato di Diocle Sugli specchi ustori e il trattato di Teodosio sulla sfera. E fu tradotta la massima opera di astronomia dell'antichità e del medioevo, l'Almagesto di Claudio Tolomeo. Neanche le opere minori furono trascurate: tutta la scienza greca fu esaminata e assimilata da scienziati e studiosi pronti a spiccare il balzo verso altri territori di scoperta. Il punto focale di tutto questo discorso è appunto che l'attività di traduzione dei testi greci fu praticata non da linguisti, ma da matematici e non fu un'attività fine a se stessa, bensì il necessario corollario dell'attività scientifica che si svolgeva in Baghdad. Per riconsiderare in modo decisivo il giudizio sulla matematica araba, basta pensare che i Greci non possedettero mai un modo di pensare algebrico: la loro matematica era esclusivamente geometria. L'introduzione dell'algebra e dei procedimenti algebrici costituì quindi una delle più grandi rivoluzioni nella storia della matematica. L'algebra era una teoria unificatrice che avrebbe consentito di trattare oggetti tanto diversi quanto i numeri razionali, i numeri irrazionali e le grandezze geometriche sotto l'unica categoria degli oggetti algebrici. Ma ancora più importante fu, come scrive Rashed, il fatto che i successori di al-Kuwarizmi intrapresero l'applicazione sistematica dell'aritmetica all'algebra e dell'algebra all'aritmetica, e dell'algebra e dell'aritmetica insieme alla trigonometria. L'algebra fu anche applicata alla teoria euclidea dei numeri e alla geometria. Reciprocamente, la geometria fu applicata all'algebra. I risultati furono molto più fecondi di quanto gli storici della matematica siano mai stati disposti ad ammettere. Ne derivarono l'algebra dei polinomi, l'analisi combinatoria, l'analisi numerica, la soluzione numerica delle equazioni, la nuova teoria elementare dei numeri e la costruzione geometrica delle soluzioni delle equazioni.

Vediamo alcune tappe di questi straordinari sviluppi.

Appena quarant'anni dopo la pubblicazione dell'opera di al-Khuwarizmi al-Mahani (nato nell'820) concepì l'idea di tradurre i problemi geometrici, quali quello della duplicazione del cubo, in problemi algebrici. E arriviamo a al-Karaji. Nato nel 953, fu il primo a liberare completamente l'algebra dai procedimenti geometrici tipici dei Greci e fu il primo a definire ciò che oggi conosciamo come monomi a esponenti interi positivi e negativi e a enunciare esplicitamente le regole per ottenerne i prodotti. Al-Karaji fondò anche una scuola di algebra che fiorì per molti secoli. Quasi 200 anni dopo di lui, ne fu membro influente al-Samawal (nato nel 1130), che diede la prima precisa definizione del campo abbracciato dall'algebra: operare sulle incognite esattamente allo stesso modo in cui si opera sulle quantità note, come scrive egli stesso. Alla stessa scuola appartenne Omar Kayyam, nato nel 1048, che diede una classificazione completa delle equazioni cubiche trovandone geometricamente le soluzioni tramite intersezioni con sezioni coniche (parabole, ellissi, iperboli). La sua strada fu seguita da Sharaf al-Din al-Tusi, nato nel 1135, il cui trattato sulle equazioni cubiche, che poneva le basi dello studio delle curve tramite equazioni, rappresenta un contributo fondamentale alla fondazione della geometria algebrica. La matematica araba non fu però solo algebra. Tra i diversi nuovi campi esplorati spiccano importanti sviluppi della teoria dei numeri. Torniamo ora indietro agli inizi della scuola di Baghad. Tra i vari fondamentali contributi alla teoria dei numeri di Thabit ibn Qurra (nato nell'836), allievo dei fratelli Banu Musa, vi è in particolare la scoperta di un bellissimo teorema che gli consentì di trovare coppie di numeri amici (coppie di numeri in cui ciascuno è pari alla somma dei divisori degli altri). Al-Haytham (nato nel 965), poi, fu probabilmente il primo a tentare di classificare tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei propri divisori) sotto la forma 2k-l(2k-l), in cui 2k-l è un numero primo. Il fatto straordinario, e assai poco noto, è che Al-Haytham enunciò il teorema della teoria dei numeri che oggi va sotto il nome di teorema di Wilson. Secondo Al-Haytham, se p è un numero primo, allora 1+(p-l)! è divisibile per p. È da notare che questo teorema è chiamato teorema di Wilson perché il matematico inglese Edward Waring (1734 - 1798) aveva scritto nel 1770 che il teorema era del giudice e matematico inglese John Wilson (1741 - 1793). Né Waring né Wilson diedero però alcuna dimostrazione di questo fondamentale teorema sui numeri primi: la prima dimostrazione di cui abbiamo notizia è quella di Pierre Simon de Laplace, del 1771. Insomma, prima che la teoria dei numeri giungesse a risultati più avanzati di quelli della matematica araba dovettero passare ben 750 anni. Ciò non significa che nel frattempo gli sviluppi arabi della teoria dei numeri non fossero ulteriormente progrediti. I numeri amici, in particolare sembravano affascinare i matematici. Al-Farisi (nato nel 1260) fornì una nuova dimostrazione del teorema di Thabit ibn Qurra introducendo importanti nuove idee sul concetto di fattorizzazione e sui metodi di analisi combinatoria. La scoperta che i numeri 17296 e 18416 sono numeri amici è tradizionalmente attribuita al matematico svizzero Leonardo Eulero (1707 - 1783). Sappiamo ora invece che il fatto era noto ben prima di al-Farisi, e che forse era stato scoperto dallo stesso di Thabit ibn Qurra.

Certamente gli Arabi furono molto avvantaggiati dall'utilizzo della numerazione decimale posizionale (la stessa che usiamo attualmente), ma certe scoperte furono decisamente notevoli e precedettero di molto lo sviluppo della matematica europea. Abu'l-Wafa e Omar Kayyam sapevano già estrarre radici e al-Karaji (nato, come si è detto, nel 953) usava il teorema del binomio di Newton per esponenti interi. Al-Kashi (nato nel 1380) conosceva un algoritmo per calcolare le radici ennesime, un algoritmo che si presenta come caso particolare del metodo scoperto molti secoli dopo da Paolo Ruffini (1765 - 1822).
Ma gli Arabi non furono solo innovatori. Continuando a usare i metodi greci tradizionali, Ibrahim ibn Sinan (nato nel 908) introdusse un metodo di integrazione più generale di quello scoperto da Archimede.

In conclusione, vedere la matematica araba solo come tramite per consentire la continuazione dello sviluppo scientifico greco in Occidente, oltre che limitativo è palesemente falso.