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CONCETTI SULLA REAZIONE - guadagno di anello

CAPITOLO 8

CONCETTI SULLA REAZIONE

8.1. Alcune definizioni

Consideriamo il sistema di 8.1, con un ingresso e un'uscita; l'uscita viene riportata tramite una anello all'ingresso e quindi va a sommarsi (o sottrarsi) all'ingresso. In questo modo l'uscita contribuisce a modificare l'ingresso e il nuovo ingresso produce una nuova uscita; si instaura quindi un anello di reazione.

In . 8.2 e la classica rappresentazione a blocchi di una reazione in cui il blocco G trasforma l'ingresso in uscita e il blocco H riceve l'uscita e la riporta al nodo di somma (sottrazione) presente all'ingresso.

Facciamo ora alcune assunzioni (peraltro temporanee):

1) Il sistema è lineare

2) G e H sono costanti e positivi

A seconda del segno, valgono queste due relazioni:

S_i= S_e + S_f S_i = S_e - S_f

In prima approssimazione possiamo associare mentalmente la somma al concetto di reazione positiva e la sottrazione al concetto di reazione negativa.

Definiamo la funzione di trasferimento ad anello chiuso o guadagno di anello chiuso il rapporto tra uscita e ingresso prima del nodo:

close loop gain G_F=

Definiamo guadagno di anello aperto il rapporto tra uscita e ingresso dopo il nodo:

open loop gain =

Nel caso particolare degli amplificatori, G rappresenta il guadagno dell'amplificatore base.

Vediamo di calcolare il guadagno di anello chiuso in funzione di G, nei due casi di nodo di somma e di sottrazione:

nodo di somma:

L'ultima espressione rappresenta il guadagno di anello chiuso espresso in funzione di G e H.

nodo di sottrazione:

Nota bene: come vedremo, nei circuiti non è affatto semplice individuare i blocchi G e H, ma esiste un metodo per calcolare direttamente la quantità GH, che quindi risulta molto più importante dei singoli G e H.

Il blocco GH viene definito normalmente guadagno di anello.

Il guadagno di anello chiuso G_F , nel caso della sottrazione, ha lo stesso segno di G ed è minore di G (viste le assunzioni fatte precedentemente).

Nel caso della somma, abbiamo tre sottocasi:

GH=1: teoricamente il guadagno è infinito (utilizzato negli oscillatori)

GH<1: G_F > G e concorde in segno con G (utilizzato nei atori di soglia)

GH>1: l'uscita cambia segno ad ogni ciclo (sistema instabile)

Supponiamo ora di ragionare su una reazione con nodo di sottrazione.

Immaginiamo che S_e rimanga costante e che ci sia una variazione positiva di S_u; di conseguenza si ha una variazione positiva di S_f e dunque una variazione negativa di S_i. Il risultato è intuitivo: la reazione negativa si oppone alle variazioni,cioè tende a stabilizzare il sistema perchè minimizza i cambiamenti dell'uscita. La reazione positiva, al contrario, tende ad esaltare le variazioni, ingigantendole.

Calcoliamo la variazione del guadagno di anello chiuso G_F in rapporto alla variazione del guadagno G:

In altre parole, una variazione nel guadagno G induce una variazione di G_F , ma divisa per la quantità (1+GH), quantità chiamata desensitivity. Questo significa che, come abbiamo già detto, nella reazione negativa una variazione di G ha un effetto molto trascurabile sul guadagno di anello chiuso (perché la quantità (1+GH) è normalmente grande, specialmente se parliamo di amplificatori).

Per fare un esempio, poniamo che il guadagno G possa variare da x a 10x, cioè dG/G=10, che siano G=25000 e H=0,1;

Si può vedere che più G è grande e meglio l'anello minimizza la variabilità di G. Quindi se abbiamo incertezza sul valore di G, ma G è abbastanza grande, otteniamo un valore di G_F più piccolo ma ne conosciamo il valore con maggior precisione.

8.1.1. Definizione di guadagno di anello e di reazione positiva/negativa

Vediamo ora la definizione vera e formale del guadagno di anello.

Dato un sistema ad anello chiuso con S_e=0, si definisce all'interno dell'anello un taglio, mantenendo invariati i livelli di impedenza; si applica da un lato del taglio un generatore di tensione e si misura la tensione S all'altro lato del taglio (. 8.3).

La definizione che si trova in letteratura è la seguente:

Ma noi utilizzeremo la seguente definizione che differisce solo per il segno:

A questo punto siamo in grado di dare la vera definizione di reazione positiva e negativa:

una reazione è positiva quando il rapporto S/ è positivo, è negativa quando tale rapporto è negativo.

Come promesso, vediamo ora il metodo che si adotta per calcolare il guadagno di anello.

Consideriamo ad esempio il circuito di 8.4.

Passi:

1) Si elimina il generatore indipendente

2) Si trasforma il generatore dipendente in indipendente

3) Si calcola V_i (grandezza pilotante) in funzione di .

In questo esempio (amplificatore di tensione), A coincide con il blocco G e la parentesi coincide con il blocco H.

Se noi consideriamo invece l'amplificatore di trans-resistenza (identico al precedente ma il generatore di tensione si trova sul ramo con R₁), otteniamo come guadagno di anello lo stesso valore, ma in questo caso non è vero che A coincide con G e la parentesi con H.

Comunque, come già detto, a noi non interessa individuare sul circuito i blocchi G e H, ma solo il metodo per calcolare G_a.

8.2 Amplificatori reazionati

I concetti di reazione visti, ci interessano solo relativamente alla loro applicazione sugli amplificatori. Vediamo dunque più in dettaglio un anello di reazione quando esso rappresenta un amplificatore ( 8.5).

Se=tensione, corrente o (raramente) potenza

Su=tensione, corrente, potenza

G=amplificatore base

H=blocco di reazione

Si presentano due problemi:

1) come facciamo a prelevare la grandezza in uscita

2) come facciamo a sommare le grandezze in ingresso

Supponiamo che i due blocchi siano dei doppi bipoli ( 8.6).

ipotesi: i blocchi sono monodirezionali (nella realtà questo non è vero, ma qui ci semplifica le cose)

Nota: i due blocchi disegnati non devono avere per forza come funzioni di trasferimento i valori G e H, perché abbiamo già detto che negli amplificatori questi due blocchi sono difficilmente individuabili.

Cosa significa prelevare una tensione o una corrente? Significa misurare la tensione SUL carico e la corrente NEL carico. Infatti sono importanti queste grandezze solo se relative al carico, e non ad un qualche altro punto della reazione.

Leggere la tensione

Per prelevare la tensione sul carico metto l'ingresso del blocco H in PARALLELO al carico ( 8.7); questa operazione è valida indipendentemente dal fatto che il circuito sia rappresentato tramite Thévenin o tramite Norton.

In teoria la resistenza in ingresso al blocco H (R_i) dovrebbe avere valore infinito, cioè presentarsi come un circuito aperto, in modo da non alterare la misura.

In pratica occorre che la resistenza abbia un valore molto alto.

Leggere la corrente

Per prelevare la corrente nel carico metto l'ingresso del blocco H in SERIE con il carico ( 8.8); anche qui, l'operazione è valida indipendentemente dal fatto che il circuito sia rappresentato tramite Thévenin o tramite Norton.

Iin teoria la resistenza in ingresso al blocco H (R_i) dovrebbe avere valore nullo, cioè presentarsi come un circuito chiuso, in modo da non alterare la misura.In pratica occorre che la resistenza abbia un valore molto piccolo.

Spostiamo la nostra attenzione sul punto di somma che si trova a sinistra dello schema a blocchi G-H. Circuitalmente, cosa significa sommare (sottrarre) correnti e tensioni? In linea generale, per sommare due tensioni occorre avere una maglia e una serie, per sommare due correnti occorre avere un nodo e un parallelo.

Sommare la tensione

Sommare la corrente

Abbiamo visto due conurazioni all'uscita (prelievo di tensione e di corrente) e due conurazioni all'ingresso (somma di tensioni e di correnti); con le 4 conurazioni possibili che otteniamo possiamo realizzare i 4 tipi di amplificatori che abbiamo già visto.

Amplificatore di tensione

La prima parte del nome si riferisce alla grandezza prelevata in uscita

Regola: immagino di sostituire il carico con un circuito aperto: se l'anello di reazione non si apre, in uscita si ha un prelievo di tensione, se l'anello si apre, ho un prelievo di corrente (viceversa se immagino di sostituire il carico con un corto circuito).

In questo caso ( 8.11) l'anello di reazione non si apre, quindi ho all'uscita un prelievo di tensione.

All'ingresso ho una somma di tensioni e la maglia è composta da V_d, da V_S e dalla tensione V_f su R₁: V_d=V_s-V_f

Questo tipo di reazione viene chiamata REAZIONE TENSIONE-SERIE.

, la seconda parte alla grandezza sommata in ingresso (ricorda: somma di tensione=serie, somma di correnti=parallelo).

In riferimento alla 8.12, in uscita viene prelevata una tensione (vale il discorso di prima), mentre in ingresso vengono sommate delle correnti nel nodo indicato.

Questo tipo di reazione si chiama REAZIONE TENSIONE-PARALLELO.

I_i=I_s-I_f

I_f

In riferimento alla 8.124,in uscita viene prelevata una corrente (vale il discorso precedente); in ingresso sono sommate delle correnti nel nodo indicato.

Questa reazione prende il nome di REAZIONE CORRENTE-PARALLELO.

I_i=I_s-I_f

Amplificatore di corrente

In riferimento alla 8.13, in uscita viene prelevata una corrente (mettendo un circuito aperto al posto del carico si apre l'anello di reazione); in ingresso si sommano le tensioni V_S , V_d e V_f . Questa reazione prende il nome di REAZIONE CORRENTE-SERIE.

V_d=V_s-V_f

Amplificatore di trans-conduttanza

Amplificatore di trans-resistenza

V_f

V_S

V_d

Possiamo a questo punto dimostrare che le impedenze di ingresso e di uscita dei 4 amplificatori dipendendono dalla desensitivity. Per far ire questo termine nelle equazioni occorre scegliere opportunamente il modello con cui rappresentiamo l'amplificatore di base.

Nei calcoli che seguono supponiamo che il blocco di reazione sia unidirezionale e che abbia impedenze di ingresso ideali (infinite o nulle a seconda dei casi).

8.2.1. Amplificatore di tensione

V_i =V_S - V_f (reazione negativa)

per calcolarla, come al solito sostituisco il carico con un generatore di tensione V, annullo il generatore indipendente V_S e poi determino il rapporto V/I:

Sia l'impedenza di ingresso che quella di uscita dipendono da un fattore 1+AH che è la desensitivity.

8.2.2. Amplificatore di corrente

per calcolarla, sostituisco il carico con un generatore di corrente e tolgo il generatore di corrente indipendente, poi calcolo il rapporto V/I:

Nota: come già detto prima di iniziare i calcoli, il blocco (1+AH) e in tutti i risultati non casualmente, ma grazie ad un'opportuna rappresentazione del blocco amplificatore (tramite Thévenin o Norton).

Se provassimo a rifare i calcoli prendendo in esame una reazione positiva, nel caso in cui la quantità AH che e nelle impedenze fosse minore di 1, troveremmo risultati analoghi ma opposti; se la quantità AH fosse invece maggiore di 1 otterremmo resistenze negative, e ciò significa semplicemente che il sistema sarebbe instabile (i poli si trovano nel semipiano positivo delle sigma) oppure oscillante.

8.3. CASO DI STUDIO: anello di reazione su amplificatore

Faremo alcuni calcoli "formali" e vedremo le differenze tra i risultati teorici e la realtà. Le regole della reazione servono durante la fase di progetto, non nel calcolo della rete, dove si utilizzano le regole dell'elettrotecnica.

Prendiamo in considerazione l'amplificatore di tensione e utilizziamo il metodo dei nodi.

Le equazioni (1) e (2) formano un sistema con due incognite: V_S e V₂ . Utilizziamo il metodo di Kramer per calcolare V₂:

Siccome V₂ coincide con l'uscita V_U , il rapporto trovato rappresenta il guadagno G_F dell'amplificatore di tensione; ora modifichiamo un po' questa espressione in modo da far ire una quantità di tipo (1+XY); a questo scopo modifichiamo il denominatore:

Questa quantità, a parte il segno che dipende dalla definizione scelta, coincide con il guadagno di anello Ga.

Operiamo ancora una trasformazione al denominatore, questa volta sulla parentesi quadra a sinistra:

A_D è detto guadagno del sistema "morto", cioè senza amplificatore; è come se avessimo messo a zero il generatore pilotato (Av_i=0); in una reazione teorica questo implicherebbe annullare anche l'uscita, ma in un sistema reale i blocchi non sono unidirezionali e quindi un contributo di guadagno lo vediamo comunque. Tale contributo è tanto più trascurabile quanto è più grande il secondo termine A_O , che dipende dal valore di A; siccome A negli amplificatori è un valore molto grande, il contributo di A_D è effettivamente trascurabile rispetto ad A_O.

A_O rappresenta invece il guadagno dell'amplificatore di base (in altre parole il blocco G nello schema a blocchi).

Il guadagno ad anello aperto (A_OL) è dato dalla somma del guadagno del sistema morto (senza amplificatore) con il guadagno intrinseco dell'amplificatore. Dividendo A_OL per la quantità (1+Ga) si ottiene infine il guadagno ad anello chiuso.

8.3.1. METODO GENERALE PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI REAZIONATI CON 1 ANELLO

Abbiamo espresso le variabili dipendenti in funzione di quelle indipendenti tramite opportuni coefficienti.

Sostituiamo tale espressione nella seconda equazione e rinomianiamo le costanti:

Imponiamo ora l'equazione di vincolo: (infatti circuitalmente la tensione pilotante e quella pilotata hanno lo stesso valore); ora sostituiamo nella prima espressione del sistema :

Quest'ultima espressione fornisce il rapporto tra uscita e ingresso, cioè il guadagno del sistema; nota la somiglianza di questa espressione con quella trovata nel caso di studio precedente.

La quantità t₁₂ t₂₂ è il guadagno di anello; invece, nel caso dell'amplificatore, la quantità t₁₂ t ₂₁ è il guadagno dell'amplificatore. Infine, t₁₁ è il guadagno del sistema morto.

Nota: con questo metodo formale otteniamo gli stessi risultati che possiamo ottenere con i calcoli visti precedentemente.

8.3.2. FORMULA DI BLACKMAN (doppio bipolo reazionato)

La formula di Blackman è utile per calcolare l'impedenza di ingresso di un doppio bipolo reazionato.

Per calcolare l'impedenza di ingresso di un doppio bipolo posso applicare ai morsetti di ingresso un generatore di tensione V, misurare la corrente I che eroga e calcolare il rapporto V/I ( 8.19a). Oppure, al contrario, applico un generatore di corrente e trovo l'inverso dell'impedenza di ingresso calcolando il rapporto I/V ( 8.19b).

Siccome parliamo di doppi bipoli reazionati, tale funzione avrà una forma di questo tipo (trovata precedentemente in via teorica):

Basandosi sulle considerazioni precedenti, la formula di Blackman permette di calcolare l'impedenza di ingresso:

Per calcolare T_OC sostituiamo l'ingresso V_S con un circuito aperto ( 8.21) e calcoliamo:

Allo stesso risultato si arriva calcolando l'impedenza di ingresso con i metodi "tradizionali".

8.4. Risposta in frequenza degli amplificatori reazionati

Vediamo la risposta in frequenza di tre amplificatori base quando vengono posti in reazione; i tre sono rappresentati in . 8.23a, 8.23b, 8.23c.

8.4.1. Amplificatore larga banda

dove G_o rappresenta l'altezza della parte piatta, a è il polo a minor frequenza e a è il polo a maggior frequenza.

Posso studiare l'effetto della reazione separando la zona di bassa frequenza e quella di alta frequenza.

L'effetto complessivo consiste in una diminuzione del guadagno e in un allargamento della banda.

8.4.2. Amplificatore operazionale

L'amplificatore operazionale compensato internamente presenta due poli, quindi è un sistema del secondo ordine ( 8.26).

Poniamo che un sistema di questo tipo venga chiuso in un anello di reazione (con blocco di reazione costante):

Come si può vedere, la relazione che esprime il guadagno di anello chiuso è composta da una prima parte che indica l'abbassamento di guadagno per la solita quantità 1+G₀H, e da una seconda parte che presenta due poli, che possono essere complessi coniugati o reali.

cioè assumiamo che la distanza tra i due poli coincida con il guadagno di anello in bassa frequenza.

dove è la frequenza di oscillazione non smorzata. Il polo più a destra ha la stessa pulsazione della frequenza di oscillazione non smorzata (questo è il polo "naturale" dell'amplificatore operazionale, mentre l'altro è il polo compensato;(vediamo più avanti come si compensa).

b>=2aG₀H presenta due soluzioni complesse coniugate ma non presenta un massimo

Un sistema del secondo ordine di questo tipo può essere realizzato anche tramite una rete simile a quella di 8.28.

Abbiamo ottenuto una funzione di trasferimento del secondo ordine, molto simile a quella che abbiamo trovato precedentemente applicando un anello chiuso all'amplificatore compensato. Questo tipo di risultato è caratteristico di una rete LRC oppure di una rete RC chiusa in un anello di reazione.

Questo significa che tramite resistenze e condensatori posso realizzare gli stessi effetti di una rete contenente induttanze; le induttanze sono molto difficili da realizzare e da utilizzare, quindi questo risultato è molto importante.