4.8 ESERCIZI

Esercizio N° 1

Tre monete vengono lanciate simultaneamente; sia T l'evento "esce testa" e C l'evento "esce croce". Definita la variabile aleatoria X = "numero delle teste verificatesi nel lancio delle tre monete", si calcoli, nell'ipotesi di probabilità uniforme:

a) la probabilità che escano due teste [P(X=2)] e la probabilità che esca almeno una testa [P(X>1)]

b) la distribuzione di probabilità di X.

Gli eventi che possono verificarsi sono:

A₁ = T T T =

A₂ = T T C =

A₃ = T C T =

A₄ = T C C =

A₅ = C T T =

A₆ = C T C =

A₇ = C C T =

A₈ = C C C =

La distribuzione della variabile aleatoria sarà:

Da cui:

P(X=2)=P(A₂ A₃ A₅)=P(A₂)+P(A₃)+P(A₅)=3/8

P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=3/8+1/8=1/2.

(Nota: La P(X>1) si poteva calcolare anche nel seguente modo:

P(X>1)==1-P(X 1) = 1-[P(X=0)+P(X=1)] =

b)

Di seguito è riportata la tabella e quindi il grafico (in forma di istogramma) della legge di distribuzione di probabilità di X.

Esercizio N° 2

Calcolare la probabilità che lanciando sei volte una moneta il numero di teste sia maggiore del numero di croci, nell'ipotesi di indipendenza ed equiprobabilità dei risultati dei singoli lanci.

Nota: ci sono (almeno..) due modi di risolvere l'esercizio, uno più brillante (cioè senza fare troppi calcoli, ma utilizzando la simmetria del problema), e uno . . che è quello che segue;

L'evento A= [numero di teste maggiori del numero di croci] è equivalente all'evento [escono almeno 4 teste].  Sia X la variabile aleatoria associata all'evento "escono x teste"; si ha:

P(A) = P(X = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

Se p e q sono rispettivamente la probabilità di successo e quella di insuccesso dell'evento "esce testa" (logicamente su di un lancio), pari entrambe a ½, applicando la legge Binomiale, si ottiene:

Esercizio N° 3

Con riferimento al circuito in contiunua a lato, calcolare la distribuzione di probabilità dei valori che può assumere la corrente in un certo intervallo di tempo supponendo che in tale intervallo le resistenze a, b, c, d, si possono guastare solo per corto circuito con probabilità pari a 0.1, e indipendentemente le une dalle altre.

Si suppone che le resistenze a, b, c, d siano gli unici componenti che si possono guastare.

Dati elettrici del circuito:

Valori delle 4 resistenze: a= b= c = d = 20 W

Resistenza del generatore: R_g = 0.01 W (da trascurare, tranne che in un caso . );

Tensione del generatore: E = 100 V

Sia X la variabile aleatoria "valore di corrente in Ampere nel dato circuito"; la corrente può assumere solo i seguenti valori:

10000 A (se sono guaste tutte le resistenze)  T X= 10000

5 A (se funziona 1 resistenza su 4)    T X=  5

2.5 A (se funzionano 2 resistenze su 4) T X= 2.5

1.66 A (se funzionano 3 resistenze su 4)   T X= 1.66

1.25 A (se funzionano 4 resistenze su 4)   T X= 1.25

Dunque, la v.a. X è discreta. Le P(X=x) si possono calcolare con la legge Binomiale:

La ldp di X  è rappresentata a fianco del circuito (anche mediante istogramma, per maggiore leggibilità)