ESERCIZIO N° 28

ESERCIZIO N° 28

Un uomo, posto nell'origine di un sistema di riferimento, lancia una freccia puntando direttamente, nella direzione di visione, verso una scimmia S ferma su un albero. La scimmia intuisce l'intenzione aggressiva e, nell'istante in cui parte la freccia, si lascia cadere al suolo. L'ignoranza della cinematica è fatale alla scimmia, che viene centrata al volo. Perché ?

SVOLGIMENTO

Occorre verificare che indipendentemente dalla velocità iniziale, esiste un punto in cui freccia e scimmia arrivano contemporaneamente.

y S

H

v S'

q

Q x

d

Indicando con y_f(t) ed y_s(t) le quote della freccia e della scimmia rispettivamente, si ha:

1

y_f(t) = (v senq)t - gt

2

1

y_s(t) = H - gt

2

La scimmia viene colpita se, al tempo t in cui la freccia e scimmia hanno la stessa quota y, avviene anche che l'ascissa x_f della freccia coincida con l'ascissa d (costante) della scimmia: questo significa l'arrivo simultaneo di freccia e scimmia nel punto S'. Dunque:

1 1

y_f(t ) = y_s(t y_f(t) = (v senq)t - gt = H - gt

2 2

da cui

H

t

v senq

L'ascissa della freccia ha la legge oraria : x_f(t) = (v cosq)t per cui, al tempo t , si ha:

H H

x_f(t ) = v cosq =

v senq tgq

ma H = dtgq (nel triangolo rettangolo PSQ) per cui

H

x_f(t = d = x_s

tgq

Dunque al tempo t freccia e scimmia hanno le stesse coordinate e la scimmia è colpita.

E' da osservare che quanto sopra trovato non dipende dalla velocità della freccia (purché v sia tale che la gittata della freccia sia superiore alla distanza d).

ESERCIZIO N° 29

Le lancette di un orologio indicano le ore tre. Dopo quanto tempo le lancette si ritrovano per la prima volta ad angolo retto ?

SVOLGIMENTO

Si tratta di due moti angolari uniformi, a diverse velocità angolari, riguardanti le due lancette (ore e minuti).

In un moto angolare uniforme l'andamento temporale del parametro cinematico angolo q è espresso dalla relazione:

q(t) = q wt

La legge appena scritta vale per entrambe le lancette (ore e minuti); nel caso della lancetta delle ore si ha:

w_ore p/T_ore p/12h (un giro intero in 12 ore) = 0,523 rad/h

mentre per la lancetta dei minuti:

w_min p/T_min p/1h (un giro intero in 1 ora) = 6,28 rad/h

Prendendo come raggio di riferimento per gli angoli la linea verticale (corrispondente quindi a q=0) si ha:

lancetta delle ore: q_ore(t) = q_ore0 w_oret   dove q_ore0 p/2 (posizione iniziale sulle ore tre)

Quindi q_ore(t) = p w_oret

Per la lancetta dei minuti: q_min(t) = q_min0 w_mint   dove q_min0 (posizione iniziale verticale)

Quindi q_min(t) = w_mint

Cerchiamo quindi il valore t di t, tale che q_min q_ore p/2; dunque

q_min(t w_mint

q_min q_ore -p w_min - w _ore)t

q_ore(t p w_oret

Pertanto

p

t = 0,55h 33min = 6/11 h

w_min - w _ore

ESERCIZIO N° 30

La piattaforma di una giostra si muove di moto circolare non uniforme. Essa parte da ferma ed ha un'accelerazione angolare costante a = 0,2 rad/s . Calcolare:

la velocità angolare dopo 2s;

l'accelerazione, in modulo, di un punto della piattaforma che disti r = 2m dall'asse di rotazione.

SVOLGIMENTO

Dalla relazione

dw

= a = cost

dt

si ha

w(t) = adt + cost = at + cost

dove la costante rappresenta il valore iniziale (t = 0) della velocità angolare, w

w(t) = at + w

Poiché la giostra parte da ferma si ha w = 0 e quindi:

w(t) = at

Per t = 2s si ha

w(2) = (0,2rad/s ) · (2s) = 0,4 rad/s

L'accelerazione vettoriale del punto è:

dv(t) d[v(t) t(t)] dv d t

a =   = = t + v

dt dt dt dt

Il modulo della velocità vale v = wr, con r distanza del punto dall'asse di rotazione. Dunque

dv d(wr) dw

a_t = = = r = ra

dt dt dt

v

a_n = = w r,  w at

r

Nel problema in esame l'accelerazione tangenziale è costante nel tempo, mentre la componente normale cresce col quadrato del tempo. Il modulo dell'accelerazione ha dunque l'espressione:

a = a_t + a_n a r a r t ar 1 + a t

ESERCIZIO N° 31

L'equazione oraria di un punto mobile che si muove su traiettoria rettilinea è s = At - Bt.

Determinare le dimensioni fisiche delle due grandezze denominate A e B e le rispettive unità di misura;

ricavare le espressioni temporali della velocità e dell'accelerazione, deducendo il significato fisico di B;

trovare gli istanti di arresto del punto.

SVOLGIMENTO

Poiché lo spazio percorso ha le dimensioni fisiche di una lunghezza, dalla legge oraria del moto se ne deduce che deve essere soddisfatta la seguente equazione dimensionale:

[L] = [A] [T] - [B] [T]

e cioè deve essere:

[L] = [A] [T] [A] = [L] [T]

[L] = [B] [T] [B] = [L] [T]^-l

Le unità di misura di A e B sono dunque m s e m s^-l rispettivamente.

L'espressione temporale della velocità e dell'accelerazione si ottengono per derivazione della legge oraria, cioè

ds

v = =3At - B

dt

dv d s

a =    = = 6At

dt dt

Dalla prima se ne deduce il significato fisico di B: essa rappresenta la velocità del punto al tempo t=0 (velocità iniziale).

Per trovare gli istanti di arresto del corpo basta uguagliare v a zero e risolvere rispetto al tempo:

v = 3At - B = 0

da cui:

B

t =

3A

Affinché tale equazione abbia soluzioni reali deve essere

B

>0 e cioè contemporaneamente A>0 e B>0 oppure contemporaneamente A<0 e B<0.

3A

ESERCIZIO N° 32

Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme con velocità angolare (costante) w, lungo una circonferenza di raggio r = 1.

Scrivere l'equazione oraria del moto.

Scelto un sistema di assi sectiunesiani Oxy, con origine nel centro della circonferenza, scrivere l'equazione OP(s) della traiettoria e l'equazione OP(t) del moto.

SVOLGIMENTO

Trattandosi di un moto uniforme, l'equazione oraria è data da:

s = s + v t

dove    s = arco di circonferenza percorso al tempo t

s = arco di circonferenza iniziale.

Si consideri ora la seguente ura:

y

P

q W x

O H

Supponiamo che al tempo t=0 il punto si trovi sovrapposto al punto W. Si ha allora:

s

e quindi

s = v t

Per ricavare l'equazione della traiettoria scomponiamo il vettore OP nella somma delle sue due componenti vettoriali lungo i due assi:

OP = OH + HP

con  OH = (rcosq) i

HP = (rsenq) j

Avendo scelto l'asse x lungo la direzione OW W origine sulla traiettoria) la lunghezza dell'arco WP è s e quindi:

s

q

r

Da ciò si ricava l'equazione OP(s) della traiettoria:

s s

OP(s) = (rcos ) i + (rsen ) j

r r

Tenuto conto poi che s = v t, si ricava l'equazione OP(t) del moto:

v t v t

OP(t) = (rcos ) i + (rsen ) j

r r

che può essere scritta (ricordato che w = v /r)

OP(t) = (rcos wt) i + (rsen wt) j

ESERCIZIO N° 33

Il moto di un punto P è descritto dall'equazione:

OP(t) = (Acos(at)) i + (Asen(at)) j + (bt g) k

Determinare le dimensioni fisiche di A, a b g

Trovare il versore tangente alla traiettoria quando A=2m, a=2s^-l b=3m/s, g=2m.

Determinare il raggio di curvatura della traiettoria.

Determinare l'equazione oraria s=s(t).

Studiare la forma della traiettoria, deducendone infine il passo.

SVOLGIMENTO

Il vettore OP(t) ha le dimensioni di una lunghezza. Ne segue quindi:

[L] = [Acos(at)]

[L] = [Asen(at)]

[L] = [bt g

Dalla terza si ricava:

g] = [L]

b] = [L][T]^-l

Dato che sen e cos sono funzioni, esse devono essere adimensionali, e dato che l'argomento di una funzione deve essere anch'esso adimensionale si ha:

[A] = [L]

a] = [T]^-l

Per trovare il versore tangente alla traiettoria, basta osservare che il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria, quindi possiamo scrivere:

dOP

v dt

t =  =

v v

Derivando OP si ottiene:

dOP

v = = ( Aasen(at)) i + (Aacos(at)) j + b k

dt

Quindi:

v = v_x + v_y + v_z = A a sen at) + A a cos at) + b = A a b

Sostituendo i valori A=2m, a=2s^-l b=3m/s, g=2m si ottiene

v = 5m/s

( Aasen(at)) i + (Aacos(at)) j + b k -4sen(2t) 4cos(2t)

t =    = i + j +3k

5 5 5

Dal fatto che v è indipendente dal tempo, ne segue che il moto è uniforme. Il punto materiale sarà dunque soggetto alla sola accelerazione centripeta:

v

a_cp = n dove n è il versore normale alla traiettoria

r

Da ciò si ricava

v

a_cp = (essendo n = 1)

r

Quindi

v

r =

a_cp

Occorre dunque ricavare a_cp. Sapendo che l'accelerazione si ottiene per derivazione della velocità, si ottiene:

dv

a = = ( Aa cos(at)) i + ( Aa sen(at)) j

dt

a =    A a cos at) + A a sen at) = A a = Aa

Quindi il raggio di curvatura è

v A a b

r = = = 3,125m

a_cp A a

d s

Ora sapendo che v =  si ricava

dt

d s = vdt

Da questa relazione, valutando i moduli, otteniamo:

ds = vdt =   A a b dt

L'equazione oraria s(t) si ottiene integrando tale uguaglianza:

^{s t}

ds = A a b dt

dove abbiamo scelto come origine sulla traiettoria la posizione occupata dal punto all'istante t=0. Si ottiene quindi

s = A a b t

equazione tipica del moto uniforme.

Il moto di P può essere visto come la sovrapposizione di due movimenti, uno lungo lasse z e l'altro in un piano parallelo al piano x-y. Il primo è un moto rettilineo uniforme, perché v_z, che è uguale a b, è costante nel tempo. Il secondo è un moto circolare uniforme come appare confrontando la (rcos(wt)) i + (rsen(wt)) j dell'esercizio precedente, l'espressione

(Acos(at)) i + (Asen(at)) j

che rappresenta la posizione di OP su un piano parallelo a x-y. ne segue che la traiettoria è un'elica cilindrica

Nel tempo T=2p a che occorre per compiere un'intera circonferenza (periodo del moto circolare che avviene nel piano parallelo), l'avanzamento nella direzione z è

s_z bT = b p a

che rappresenta appunto il passo dell'elica.

ESERCIZIO N° 34

Un punto materiale si muove nel piano x-y con equazione data da:

OP = ct i + be^-kt j (con t > 0)

Trovare le dimensioni fisiche di c, b, k.

Determinare l'equazione della traiettoria.

Trovare la dipendenza temporale della velocità e dell'accelerazione. Studiare il moto nel caso asintotico tV

SVOLGIMENTO

Poiché OP ha le dimensioni fisiche di una lunghezza, allora anche ct e be^-kt devono avere tale dimensione. Ricordato che una funzione è adimensionale, si ha:

[b] = [L]

[c] = [L][T]^-l

Inoltre poiché l'argomento di una funzione deve essere adimensionale anch'esso, allora:

[k] = [T]^-l

Per determinare l'equazione della traiettoria, scriviamo la legge oraria nella rappresentazione sectiunesiana:

x(t) = ct

y(t) = be^-kt

Ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda si ottiene l'equazione della traiettoria:

x

t =

c

y(x) = be^-kx/c

dOP dv

Sapendo che v = e a = si ha

dt dt

dx(t)

v_x = = c

dt

da cui v = v_x + v_y = c + k b e^-2kt

dy(t)

v_y = = b(-k)e^-kt

dt

dv_x

a_x = = 0

dt

da cui a = a_x + a_y = a_y = a_y

dv_y

a_y = = bk e^-kt

dt

Nel caso asintotico tV si ha:

xV

yV

vV c = c

aV

Il moto tende a diventare uniforme e la traiettoria tende asintoticamente all'asse x.

ESERCIZIO N° 35

Nel piano x-y un versore u ruota con velocità angolare costate mantenendo la sua origine fissa nell'origine O del sistema di assi.

Calcolare du/dt.

Indicato con t il versore normale ad u ed orientato nel verso in cui si muove l'estremo libero di u, calcolare dt /dt.

SVOLGIMENTO

y y

t

u

x x

L'estremo libero di u percorre una traiettoria circolare di raggio 1. Il suo moto è allora un moto circolare uniforme (in quanto w=cost). Ricordato che il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria e diretto come il verso di percorrenza lungo la traiettoria, e ricordato che dato un vettore a di modulo costante, il quale ad un certo istante ruoti con velocità angolare pari ad w, la sua derivata da/dt è un vettore di modulo pari ad wa e ruotato rispetto ad a di p/2 nel senso in cui ruota a, si ha:

du

v =

dt

In modulo:

du

v = = w

dt

Indicato con t un versore tangente alla traiettoria nel punto P (estremo libero di u) ed orientato nel verso del moto si ha:

v = vt wt

Quindi

du

wt

dt

Il versore t, essendo costantemente perpendicolare ad u, ruota anch'esso con velocità angolare w. Applicando le stesse considerazioni fatte per du/dt si ottiene:

dt

= -wu

dt

Infatti la derivata di t deve avere modulo pari ad w e deve essere diretto perpendicolarmente a t, cioè come u ed avere verso opposto a quello di u.